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2023年度入試 旧帝大理系数学解答例

東京大学 理系

2023年度 東京大学理系第2問【隣り合わない並びと条件付き確率】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 隣り合わない並びという話題で、オチは条件付き確率というテーマ自体はよくある話題です。 隣り合わない並びを実現させるための手段としては 隙間に放り込む というのが有力な方法です。 (1) は先に白と黒を並べて、赤を隙間に放り込めばよいわけです。 確率ですから、玉は区別して考えればよいでしょう。 白と黒の並べ方が 8! 通りあり、赤玉は隙間の9カ所から4カ所選んで並べればよいため、 \(8! \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 ...

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2023年度 東京大学理系第3問【円の接線と放物線の弦】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 放物線と円の位置関係から始まり、円の接線が放物線によって切り取られる長さについて考える問題です。 (1) は距離に注目したり、円周上の点をパラメータ表示したり色々捌けるでしょうが、(2) のことを考えるとパラメータ表示をする方が方針面での接続はよさそうです。 (2) はひとまず L_{\mathrm{P}} を立式するところまでが一つの山場です。 点 \mathrm{P} における接線の式を立てる y=x^{2} と連 ...

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2023年度 東京大学理系第4問【球と三角形が共有点をもつ条件】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 空間座標に関する問題で、ベクトル特有の機械的処理要素もありつつ、図形的な考察力も要する良問です。 (1) ,  (2) までは東大受験生であれば確保したいレベルで、(3) は差がつくでしょう。 一気に処理しようとせず、一つずつ丁寧に状況を整理していくと、全体像がつかめてきます。 全体像がつかめればこちらのもので、やるべきことや目の付け所が浮かんできやすくなります。 図形的な考察要素を好む東大らしい一問でしょう。 今年のセットの中では他の問題に ...

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京都大学 理系

2023年度 京都大学理系第2問【空間における2直線が交点をもつ条件】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 空間ベクトルについての基本問題です。 内分点、中点の位置ベクトルの導出 共線条件 2直線が交点をもつ条件 など、空間ベクトルに関する基本事項のセットとなっています。 なお、あまり律儀にお絵描きする必要はなく、立式の補助としてある程度の図で構わないでしょう。 問題によってはある程度正確に図を書き、図形的な考察を通さないと負担が重くなるような問題もありますが、本問はある程度ラフな図でも立式さえできれば、式的な処理で押し通せる範疇です。 そういった ...

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2023年度 京都大学理系第3問【サイコロの目の積についての確率】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) サイコロを投げて出た目の総積について考える問題で、話題としては典型テーマです。 悪くいってしまえば正直どの大学で出題されてもおかしくなく、個性はないと言ってよいでしょう。 下手をすると進学校であれば定期考査レベルの問題ですので、正直言って確保しないと大ダメージです。 (この問題で配点30点ですからね。) 特に (1) は京大を本気で目指してきた受験生からするとバカにするなという感想が出てきてもおかしくないでしょう。 解答はコチラ なお、京大は ...

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2023年度 京都大学理系第4問【合成関数の最大最小】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 関数の最大値、最小値を求めるという極めてド直球なテーマです。 今回の f(x)g(x)=x+\displaystyle \frac{1}{x} h(x)={e}^{-x^{2}}+\displaystyle \frac{1}{4}x^{2}+1 と設定した際に f(x)=g(h(x)) という形になっているいわゆる合成関数です。 \(y={e}^{-x^{2}}+\displaystyle \frac{1 ...

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東北大学 理系

2023年度 東北大学理系第1問【玉を交互に取り出すゲーム】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \mathrm{A}\mathrm{B} の2人が玉を交互に取り出していき、 \mathrm{A} が赤玉を取り出したら \mathrm{A} の勝ち \mathrm{B} が白玉を取り出したら \mathrm{B} の勝ち というゲームに関する確率です。 (1) ,  (2)  いずれにしても、題意を満たすような玉の取り出し方は限定的なので、どのような事象が起こればよいのかを追っていき ...

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2023年度 東北大学理系第2問【三角関数の方程式の解の個数と極限】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 三角関数に関する方程式の解と、その解の個数に関する極限について考える問題です。 今回の \sin{3x}+\sin{x}=0 という方程式の解を求めること自体は基本的なレベルであり、(1) は確保しないとツライものがあります。 実質は (2) の勝負です。 m 以下の解の個数を把握しようと思うと m がどの程度の大きさなのか ということに興味がいくでしょう。 今回の方程式の正の解は \(x=\displaystyle ...

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2023年度 東北大学理系第3問【2項間漸化式(変数倍)の一般項とその和】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 2項間漸化式に関する一般項とその和についてを扱った問題です。 (1) で一般項が出せないと、連動して (2) も失うことになります。 しかも、(1) が出せれば (2) も勢いに乗って完答しやすいレベルであるため、差が付きやすい問題だと言えましょう。 漸化式が (n+2)a_{n+1}=na_{n}+2 という形で与えられているのはまだ親切で、 \(a_{n+1}=\displaystyle \frac{n}{n+2}a_{n}+\d ...

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九州大学 理系

2023年度 九州大学理系第1問【相反方程式と複素数平面における三角形の形状決定】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 相反方程式と、複素数平面における三角形の形状決定問題です。 相反方程式とは、 係数が外側から左右対称になっている方程式 のことで、特有の捌き方をするテーマ性のある話題です。 知識的側面が強いですが、難関大を目指すにあたっては準備していて然るべき定番の話題とも言えます。 相反方程式については を参考にしてください。 (2) の複素数平面における三角形の形状決定問題については、\alpha\beta ,  \(\gamma ...

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2023年度 九州大学理系第2問【絶対値のついた漸化式】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 漸化式は2項間漸化式なのですが、絶対値が付いているという点で面食らう受験生も多かったと思います。 こういった得体のしれない漸化式については、 実験して情報や要領をつかみ取る という態度で愚直に調べていくしかありません。 何かうまい方法はあるか と式変形に固執してしまうと身動きがとれなくなります。 試験場補正もかかりやすく、論述も手慣れていないとうまく記述しづらいため、完答しづらい問題です。 問題自体は面白く、思考力を鍛える教材としては積極的に ...

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2023年度 九州大学理系第3問【任意の格子点が斜交座標においても格子点となる条件】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) ベクトルに関する論証問題ですが、1次変換に伴う斜交座標への変換という話題を扱っており、現行課程に行列がないため受験生はイメージが掴みにくいでしょう。 成分を用いて噛み砕いていくことで、数式的に処理していけますので、特別な知識は必要ありません。 ただ、問題の条件を適切に咀嚼する顎の力が必要です。 また、最後の (3) は全称命題としての独特の捌き方をします。 「任意の(全ての)」や「存在する」といった言葉をきちんと汲み取る力も求められ、文字も多 ...

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北海道大学 理系

2023年度 北海道大学理系第1問【複素数平面上の図形列】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 複素数平面上で帰納的に定まる図形の列について考える問題です。 試しに C_{1}から C_{2} を作ってみると、構造や要領がつかみやすいと思いますし、 それができるなら C_{n}から C_{n+1} を作るのもできるはずです。 変換の意味を考えてみると、 \displaystyle \frac{1}{2} 倍縮小&平行移動 で、半径がどんどん半分になっていく円であることは想像できる人にはできるのでし ...

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2023年度 北海道大学理系第2問【球と直線の2交点】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 空間座標における球面、平面、直線に関する問題です。 手始めに球の中心と平面 \mathrm{ABC} との距離を求め、次に球の中心の座標を求め、オチは球と直線の2交点の距離を求めるという流れです。 計算量、難易度はともに標準的で、今年 (2023年) のセットの中では唯一無理のない範囲で完答が狙える問題です。 律儀に x 軸、y 軸、z 軸を書いてやろうとすると見にくく使い物にならない絵を貴重な時間を割いて書く ...

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2023年度 北海道大学理系第3問【2変数についての方程式】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) グラフを用いて方程式の解について考察する問題です。 (1) は非常に基本的かつ定番の問題であり、(2) 以降の足掛かりとなる問題であるためこれを落とすことは許されないでしょう。 実質的には (2) 以降が勝負です。 (1) の関数 f(x) を用いると、(2) で与えられている等式は f(x)f(y)=c という形で表されています。 ここから何をしてよいのか戸惑ってしまう受験生もいたかもしれません。 (1) の結果を活用しよう ...

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大阪大学 理系

2023年度 大阪大学理系第1問【メルカトル級数に関する極限】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 見た目で怯んでしまう人が多そうです。 重い数Ⅲをよく出題する阪大ですが、本問は計算量そのものはそこまで大変ではありません。 メルカトル級数 \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle \frac{(-1)^{k-1}}{k}=\log{2} という有名な級数に関する類題経験があると、(1) の活用法が見えやすくなります。 この分野は特に現役生が苦手意識をもったまま試験当日を迎えやすい ...

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2023年度 大阪大学理系第2問【平面ベクトルと点の存在範囲】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 目がチカチカして一見怯んでしまいそうですが、一皮むいてしまえば標準的な内容です。 試験場で解けなかった人からすると、あとから解答を見て なんでこれができなかったんだ と唇を噛むタイプの問題です。 指導者レベルの経験値をもった人であれば当たり前に感じてしまう工夫なのですが、受験生レベルだと(ましてや試験場だと)アタフタするかもしれません。 本問は文系第3問との共通問題でした。 文系の受験生だと一皮が分厚く感じるでしょうが、阪大理系受験生であれば ...

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2023年度 大阪大学理系第3問【曲線外の点から引いた接線の本数】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 曲線外の点から接線が何本引けますかという定番のテーマであり、類題経験は阪大受験生であればあって然るべきでしょう。 なので、方針面で困ることがあってはなりません。 ただ、処理面で手が止まってしまう受験生は少なくないでしょう。 (t \ , \ \cos{t}) における接線の式を立て ,  それが (a \ , \ b) を通るように仕組むことになります。 すると、 b=(t-a)\sin{t}+\cos{t} という等 ...

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名古屋大学 理系

2023年度 名古屋大学 理系 第1問【複素数平面上の円上の点を解にもつ4次方程式】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 複素数平面上での円上の点が表す複素数を解にもつ4次方程式についての問題です。 図形的な意味合いと式的な意味合いを結びつける力も要求され、総合的な力が問われています。 (1) はなまじ形がキレイな結論であるため、逆にアタフタするかもしれませんが、冷静に沈めたいところです。 (2) は pqrs  を解 \alpha\beta の情報を含む t ,  \(u\ ...

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2023年度 名古屋大学 理系 第2問【2円で囲まれる部分のx軸回転体】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 2円が相異なる2点で交わるとき、2円で囲まれる部分の x 軸回転体の体積について考える問題です。 文字を多く含み、計算量が多少あるものの少なくとも (2) ,  できれば (3) までは何とか辿り着きたいところです。 (4) は (3) で得た V(r)r で微分し、V'(r) を計算して増減表を得ることができれば解決なので、方針面では迷う余地はありませんが、かなりエグイ計算に襲われます。 \(r=a-b ...

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2023年度 名古屋大学 理系 第3問【方程式の実数解の個数】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 方程式の実数解の個数について考えるという問題で、テーマとしては定番寄りの話題です。 微分法を用いてグラフの概形を捉え、方程式の解を視覚化することで共有点の個数を考えるという点で、方針面では迷う余地はありません。 ただ、与えられた方程式をどのような形で見るのが最善なのかという点で、アタフタする部分があるかもしれません。 与えられた方程式をどのように見ても、一応解けるには解けますが、最適な道を行こうと思うと、問題全体を俯瞰する必要が出てきます。 ...

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