問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
関数の最大値、最小値を求めるという極めてド直球なテーマです。
今回の \(f(x)\) は
- \(g(x)=x+\displaystyle \frac{1}{x}\)
- \(h(x)={e}^{-x^{2}}+\displaystyle \frac{1}{4}x^{2}+1\)
と設定した際に
\(f(x)=g(h(x))\)
という形になっているいわゆる合成関数です。
\(y={e}^{-x^{2}}+\displaystyle \frac{1}{4}x^{2}+1+\displaystyle \frac{1}{{e}^{-x^{2}}+\displaystyle \frac{1}{4}x^{2}+1}\) の最大最小を考えるにあたって、
\(t={e}^{-x^{2}}+\displaystyle \frac{1}{4}x^{2}+1\)
とおき、
\(y=t+\displaystyle \frac{1}{t}\)
とシンプルにしたくなる気持ちは湧いてきて当然の気持ちです。
もちろん、この \(t\) は好き勝手動けるわけではないので、
\(t\) のとり得る値の範囲
を求めて、その範囲内で \(y=t+\displaystyle \frac{1}{t}\) の最大値と最小値を求めることになります。
やること自体は一本道であるため、方針面で困ることはあってはなりません。
ただ、処理の場面でアタフタする受験生が若干いるとは思います。
切れ味を求める京大というイメージですが、本問はどちらかというと腕力寄りの問題です。
ただ、メチャクチャな腕力が必要というわけでもないので、腕力がある受験生を炙り出すというよりは、非力な受験生を炙り出す目的での出題だと推察します。