主に難関大学合格にむけた数学の入試問題の解説をしています。

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 定積分の計算というシンプルなオチですが、ノーヒントではほとんど差がつかないでしょう。 特に (3) で誘導の使い方が分からないと、頭に血が昇り、ムキになって 誘導に頼らずやってやる と、ますます深みに嵌まってしまうかもしれません。 そこまで複雑そうな関数にも見えないので尚更です。 最近では、こういったあまりに技巧的な要素を含む問題を嫌う傾向にありますが、芸術鑑賞と考えれば本問の話の進み方は初見の方にとっては感動的です。 （以下ネタバレ注意） ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 「おっ？」と思うような見た目と構成をしていますが、中身は三角関数の諸公式の運用を試す基本的な問題です。 特に (2) は割と有名な等式です。 一般論に拡張できるような雰囲気を醸し出しておきながら、最後に裏切られてしまうのは何とも言えません。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について \(x+y=\pi\) という従属２変数に関する扱いであり、 基本 １文字消去 を狙っていくのが素直です。 (2 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 各面が等確率で出ないサイコロを考えるという設定で、この設定にバリバリ慣れ親しんでいますという人は多くはないでしょう。 昔名古屋大学で直方体のサイコロに関する論証問題がありましたが、本問は直方体とも限らないということで攻め崩す急所をどのように見出していくかが問われます。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について \(k=1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \ , \ 6\) として、\ ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） king property (キングプロパティー) と呼ばれる置換積分がバックボーンにあります。 ノーヒントだと泡を吹く受験生が多数出てくるでしょう。 ただ、誘導自体にも骨があるため、定積分というものをきちんと理解しているかが問われます。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 定積分は「値」 本問を理解するにあたっては、積分計算において「生き残る文字」についてパッと読み取れる力が必要です。 例題 \(\di ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 放物線に対する直交２接線の交点の軌跡を求めるという有名テーマです。 精力的に学習している人は結論を知っているでしょう。 今回はそのような有名テーマを押さえつつ、プラスアルファでの問いかけについても併せて考えてみます。   （以下ネタバレ注意）     + クリック（タップ）して続きを読む 直交２接線の交点について (1)は有名テーマです。 曲線外の点から引いた接線の立式の仕方は、「接点を設定する」ということから始 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。 シリーズ一覧 第１講はフィボナッ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回のテーマ別演習では「一般化」という考え方を自分のモノにします。 問題文で与えられている特殊なシチュエーションを、より一般のシチュエーションに拡張して考えるという手法です。 このシリーズの一覧はコチラ 第１講では、形から関数を設定する力を身につけることを目標とします。 例題の問題は非常にシンプルですが、しっかりと基礎的な部分で差が付きます。 数学の発想の素となる 「こういうことをしてみたい（調べてみたい）」 という素朴な気持ちや感性を鍛えて ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回は難関大を目指すにあたっては避けて通れない話題である「逆像法」について扱います。 このシリーズを通じて 逆像法のもつイメージ 逆像法の代表的な使いどころ をマスターし、状況に応じて自分で使いこなせるようにすることでライバルに差をつけましょう。 このシリーズの一覧はこちら   代表的な使いどころ 入試によく出題される話題の中で、逆像法が有効にはたらく場面というのは以下の話題です。 逆像法の代表的な使いどころ 最大最小問題への応用 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。 代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。 このシリーズの一覧はこちら 第１講は 黄金三角形の黄金分割 という話題です。 黄金比について 長方形 A から正方形を切り取って 残った長方形を B とします。 A と B が相似であるとき、長方形 A を黄金長方形といい、その縦横比を \(1 : x\) とすると、 \(1 : ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 漸化式は問題を解く中で処理しなければならない場面が多々あります。 確率漸化式などの確率や場合の数の分野との融合 点列など、座標との融合 整数問題との融合 など、漸化式は道具として使う場面が多々あります。 漸化式が立式できても、それが解けないとなると意味がありませんから、基本的な漸化式についてはきちんと処理できる必要があります。 そこで基本的な漸化式について一通りこのシリーズで押さえておきたいと思います このシリーズの一覧はこちら   ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   今回からテーマ別演習でパターン性の濃い計算技法を扱っていこうと思います。 今回のテーマは「シグマ計算」です。 このシリーズの一覧はこちら 最初にまとめておきます。 シグマ計算の基本方針は次の３つです。 シグマ計算基本方針 公式利用とその延長 差分解からの和の中抜け 二項定理の活用   第１講はまずシグマ計算の公式の確認と、その延長について扱います。 手始めにまずは上の問題で公式の確認と、その証明をしてみてください。 最 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   「全称命題」というテーマ性のある話題を扱います。 これは分野は関係なく、「考え方」に難しさがあり、独特な議論の進め方をします。 対応を知らないと、白紙になってしまったり、見当はずれなことを場当たり的に書いて終了してしまいかねません。 全称命題だと見抜く「眼」と、見抜いた後の「対応」の両輪をきちんと揃えておき、ライバルに差をつけましょう。 シリーズ一覧はこちら 今回は恒等式となるための条件を考えるという問題です。 見た目が仰々しく ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) を満たす自然数 \((a \ , \ b \ , \ c \ )\) の組をピタゴラス数と言い、特に \(a\) , \(b\) , \(c\)  のどの２つも互いに素であるとき、原始ピタゴラス数と言います。 原始ピタゴラス数に関する入試問題は頻出であり、今回は何題かピックアップしてシリーズものとして取り上げたいと思います。 シリーズ一覧はこちら   今回は第１講ということで ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   多くの人が苦手とする話題である「定積分と不等式評価」という話題です。 特に現役生の勝負のカギは数Ⅲの完成度にあると言っても過言ではないのですが、結局この分野を苦手としたまま当日をむかえてしまうことになる受験生は沢山いるでしょう。 そんな受験生たちに差をつけましょう。 このシリーズの一覧はこちら   不等式評価には絶対的な正解がありません。 例えば \(1 \lt □\) の □ に何を入れるかと言われたら人によるところ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 このシリーズのまとめはこちら   まず、 \(\cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta})\) を満たす多項式 \(T_{n}(x)\) のことを（第１種）チェビシェフの多項式といいます。 例をあげ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     「数値評価」というテーマを扱います。 このシリーズの一覧はこちら   今回は円周率 \(\pi\) の評価です。 第１回ということもあり、まずは丁寧な誘導のついた問題をもってきました。 (1)は展開して定積分を計算するだけです。 (2)は  \(x=\tan\theta\)  \((-\displaystyle\frac{\pi}{2}  \lt \theta \lt \displaystyle\frac ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   表向きは数学的帰納法の標準的な練習問題です。 本問を解くだけならば、そこまで難しい話ではありません。 （『数学的帰納法により示せ』と方針まで書いてくれています。） ただ、それで終わらすにはもったいない話題である「ペル方程式」を扱った問題なので、少しふれておこうと思い、今回シリーズものとしてテーマ別演習で扱うことにしました。 このシリーズの一覧はこちら   ペル方程式とは \(x^2-Dy^2=\pm 1\)  ( \( ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   このシリーズの一覧はこちら   数学における２大証明法「数学的帰納法」と「背理法」のコラボレーション問題です。 指導者側からすると「ハイハイこれね」と言いたくなるぐらい手垢のついた問題ですが、初めて解いた時の気持ちよさは今でも覚えています。 漸化式に関する証明問題では帰納法を用いるのが常套手段です。 本問では「互いに素」であることを証明するために背理法を用いることになります。 矛盾の仕方が個人的に気持ちいいですね。 ( ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 2021年度入試の中でも注目度が一際高かった問題です。 問題文の意味自体は下手すると小学生でも分かりますが、実際に試験場で見ると面食らう受験生も多かったかもしれません。 実際に自分ではできたつもりでも、実は数え方がマズく証明できていないということにもなりかねないため、自分の手応えと実際の出来具合にはギャップがあるかもしれません。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 方向性 素数よりも合成数の方が数えやすい ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題３はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 高次の多項式に関する余りを求める問題で、頻出のトピックスです。 例題からスタートし、徐々に難易度が上がっていきます。 最後の類題３については、難易度は高めです。 この類の問題に一度でも経験があると舐める人もいそうですが、逆にそういう人の足を掬うよう ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 文字を含んだ式の大小を比較する問題です。 単純に差を取って解決すれば問題ないのですが、差をとっても埒があかない問題もあるでしょう。 本問は誘導はなく、方針から自力で考える問題です。 もちろん、取っ掛かりとなる部分は無理のない範囲の発想です。 愚直に攻めてもよし、工夫して鮮やかに捌いてもよしという調理の仕方に幅のある問題です。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 路線１：愚直に攻める 今回の２数 \(\displayst ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） とてもシンプルな題意ですが、見かけとは裏腹にとっかかりが見えにくい難問です。 「逆ならいえるのに」という類の問題で論証色が強いため、傷がないように話を進めるとなると神経も使います。 千葉大の整数問題は割と本格的な問題も多いため、試験場では取捨選択も含めた判断がいるでしょう。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 路線１：有理数の設定 ひとまず、 \((a+bi)^{2}=(a^{2}-b^{2})+2abi ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(\sqrt[n]{n}\) の極限についての問題です。 \(\sqrt[n]{n}=n^{\frac{1}{n}}\) ですから、\({\infty}^{0}\) という形の不定形ということになります。 本問は丁寧な誘導がついていますので、その誘導に乗れれば、完答することは難しくはありません。 その誘導自体も定番の不等式なので、経験があれば即沈みます。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 例題について ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は整数の問題です。 ブロカールの問題と言われる次の問題があります。 ブロカールの問題 \(n\) を正の整数として、 \(a_{n}=n!+1\) とするとき、\(a_{n}\) が平方数となる \(n\) を全て求 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は整数の問題です。 等差数列の中で連続する素数の個数を考える問題です。 これについては グリーン・タオの定理 任意の正の整数 \(n\) に対して、\(n\) 個の項からなる素数等差数列が存在する。 というテレンス・ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は幾何の問題です。 重心や外心、内心などは幾何的性質も豊富ですが、垂心についての幾何的性質については中々スポットが当たらないので、これを機に考えてみてほしいと思います。 難易度は冷静な状態であればやや易でしょうが、試 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は微積分の問題です。 \(y=xe^{nx}\) という関数の面白い性質を問いにしました。 基本的な微積分の練習問題としてご活用ください。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む ( ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は確率の問題です。 シンプルな題意とは裏腹に意外と考えにくさがあると思います。 切れ味鋭く切れ込む解答を見ると、京大らしく感じるでしょうし、愚直に進めるとスタミナが必要な東大らしさを感じると思います。 （以下ネタバレ ...