2024年度入試 旧帝大理系 解答例順次公開
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新着記事
2024年度 京都大学理系第４問【条件によって分岐する漸化式】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 項の偶奇によって、次の項を定めるための漸化式が変化する、変則的な漸化式についての問題です。 最初の一歩目に大きな山場があり、その山場をクリアーすれば計算量は少なくシンプルに解決に向かうという京大らしい問題です。 (1) , (2) がほぼ同じ要領であるため、(1) ができれば (2) も解決する可能性が高く、逆に (1) ができないと (2) も厳しいでしょう。 スタートの a_{0} から奇数が連続するということは奇数が連続してい ...
2024年度 京都大学理系第３問【２直線がねじれの位置にあるための必要十分条件】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ２直線がねじれの位置にあるための必要十分条件を考える問題です。 必要十分条件ということであり、ねじれの位置にあるということを正確に翻訳するということになります。 直線 \mathrm{PX} , 直線 \mathrm{QY}がねじれの位置にあるとは 直線 \mathrm{PX} , 直線 \mathrm{QY} が平行でない かつ 直線 \mathrm{PX} , 直線 \mathrm{QY} ...
2024年度 京都大学理系第２問【独立に動く２点を結ぶ線分の中点の存在領域】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 円板上の点と円周上の点を両端にもつ線分の中点の存在領域を考える問題です。 複素数 x , y はお互いに干渉することなく、独立に動くため、 まずは片方を固定し、１つずつ動かす という予選決勝法の考え方で捌いていくことを考えます。 その際、先にどちらを固定するかという点で体感のやりやすさ・やりにくさが若干変わってきます。 複素数を複素数のまま扱う方法もありますし、実部・虚部を持ち出し、 z=p+qi などとおいて、この ...
2024年度 東北大学理系第４問【２球面の交円上を動く点の立式】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ２球面の交円上を動く点の立式に関する問題です。 丁寧なレールが敷いてありますが、状況を見失ってしまう受験生も少なくないでしょう。 立式するための補助的な図をイメージできるとある程度スムーズに方向性が見えてくるでしょうが、律儀に図を描こうとして混乱したり、無駄に時間を失ってしまう可能性も十分あります。 座標軸を先にかいてしまうと、図を描くのが困難になります。 座標軸は一旦無視して簡易的な図が描ければ、何を目指せばよいか、あるいはどのように式を立 ...
2024年度 東北大学理系第３問【文字列作成に関する確率漸化式】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 文字列作成に関する確率漸化式についての問題です。 問題文が長く、把握に時間がかかりそうですが、読み解いてみると、 ①：確率 \displaystyle \frac{2}{3} で末尾に A を追加 ②：確率 \displaystyle \frac{1}{3} で末尾に B を追加 ③：AAA というような A の３連続は不可 ④：BB というような B の 2 連続は不可 というルールで文字列を作成していくという単純なルールで ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 不等式の証明からスタートし、それを用いて n \leq 2\log_{2}n を満たす正の整数 n を求めるという内容です。 (1) の不等式の証明では、与えられた条件式、特に (a) をどのように活用するかが問われます。 (1) の主張は大まかに x \geq 2 \log_{t}x ならば、x+1 \gt 2 \log_{t}(x+1) という構造になっており、さながら帰納法の橋渡し的な内容です。 これを用 ...
2024年度 東北大学理系第１問【放物線と２直線で囲まれた領域の面積】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 放物線と２直線で囲まれた領域の面積に関する問題です。 文字を含んだ放物線を扱うため、計算量について身構えますが、数値的にキレイに仕組まれているため思っているほどの負担感は感じません。 様々な捌き方がありますが、基本的には手なりに進めていける問題です。 特に(3)は(2)ができていればボーナス的な問題であるため、しっかりと完答したいところです。 接点 \mathrm{Q} の x 座標 q の導出については、判別式の路線 ...
2024年度京大理系 各解説記事 １５０分 ６題 記述式 と、形式に変更はありませんが、 2023年度の 35点問題×４題＋30点問題×２題 に対して、2024年度は 30点問題×４題＋40点問題×２題 と配点が変わりました。 分野的トピックス ６題中４題に数Ⅲが絡んでいます。特にオチが極限という問題が３題ありました。 また、昨年(2023年度)あった小問集合はなくなりました。 各大問について 第１問（標準） 問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） n 色を準備し、立方体の ...
2024年度 京都大学理系第６問【整数部分がn桁であるものの中で最高位の数字が１となるものの割合】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 2^{\sqrt{k}} の整数部分が n 桁となるものの中で、最高位の数字が 1 となるものの割合について、その極限を考える問題です。 2^{\sqrt{k}} が n 桁ということは 10^{n-1} \leq 2^{\sqrt{k}} \lt 10^{n} ということになり、整理すると \((\displaystyle \frac{n-1}{\log_{10}{2}})^{2} \leq ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 連立不等式で表された領域の面積と、その極限に関する問題です。 今回扱う y=\displaystyle \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} , y=\displaystyle \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} は双曲線関数と呼ばれる有名曲線であり、 \sinh{x}=\displaystyle \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} , \(\cosh{x}=\displaystyle ...
2024年度 京都大学理系第４問【条件によって分岐する漸化式】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 項の偶奇によって、次の項を定めるための漸化式が変化する、変則的な漸化式についての問題です。 最初の一歩目に大きな山場があり、その山場をクリアーすれば計算量は少なくシンプルに解決に向かうという京大らしい問題です。 (1) , (2) がほぼ同じ要領であるため、(1) ができれば (2) も解決する可能性が高く、逆に (1) ができないと (2) も厳しいでしょう。 スタートの a_{0} から奇数が連続するということは奇数が連続してい ...
2024年度 京都大学理系第３問【２直線がねじれの位置にあるための必要十分条件】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ２直線がねじれの位置にあるための必要十分条件を考える問題です。 必要十分条件ということであり、ねじれの位置にあるということを正確に翻訳するということになります。 直線 \mathrm{PX} , 直線 \mathrm{QY}がねじれの位置にあるとは 直線 \mathrm{PX} , 直線 \mathrm{QY} が平行でない かつ 直線 \mathrm{PX} , 直線 \mathrm{QY} ...
2024年度 京都大学理系第２問【独立に動く２点を結ぶ線分の中点の存在領域】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 円板上の点と円周上の点を両端にもつ線分の中点の存在領域を考える問題です。 複素数 x , y はお互いに干渉することなく、独立に動くため、 まずは片方を固定し、１つずつ動かす という予選決勝法の考え方で捌いていくことを考えます。 その際、先にどちらを固定するかという点で体感のやりやすさ・やりにくさが若干変わってきます。 複素数を複素数のまま扱う方法もありますし、実部・虚部を持ち出し、 z=p+qi などとおいて、この ...
2024年度 東北大学理系第４問【２球面の交円上を動く点の立式】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ２球面の交円上を動く点の立式に関する問題です。 丁寧なレールが敷いてありますが、状況を見失ってしまう受験生も少なくないでしょう。 立式するための補助的な図をイメージできるとある程度スムーズに方向性が見えてくるでしょうが、律儀に図を描こうとして混乱したり、無駄に時間を失ってしまう可能性も十分あります。 座標軸を先にかいてしまうと、図を描くのが困難になります。 座標軸は一旦無視して簡易的な図が描ければ、何を目指せばよいか、あるいはどのように式を立 ...
2024年度 東北大学理系第３問【文字列作成に関する確率漸化式】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 文字列作成に関する確率漸化式についての問題です。 問題文が長く、把握に時間がかかりそうですが、読み解いてみると、 ①：確率 \displaystyle \frac{2}{3} で末尾に A を追加 ②：確率 \displaystyle \frac{1}{3} で末尾に B を追加 ③：AAA というような A の３連続は不可 ④：BB というような B の 2 連続は不可 というルールで文字列を作成していくという単純なルールで ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 不等式の証明からスタートし、それを用いて n \leq 2\log_{2}n を満たす正の整数 n を求めるという内容です。 (1) の不等式の証明では、与えられた条件式、特に (a) をどのように活用するかが問われます。 (1) の主張は大まかに x \geq 2 \log_{t}x ならば、x+1 \gt 2 \log_{t}(x+1) という構造になっており、さながら帰納法の橋渡し的な内容です。 これを用 ...
2024年度 東北大学理系第１問【放物線と２直線で囲まれた領域の面積】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 放物線と２直線で囲まれた領域の面積に関する問題です。 文字を含んだ放物線を扱うため、計算量について身構えますが、数値的にキレイに仕組まれているため思っているほどの負担感は感じません。 様々な捌き方がありますが、基本的には手なりに進めていける問題です。 特に(3)は(2)ができていればボーナス的な問題であるため、しっかりと完答したいところです。 接点 \mathrm{Q} の x 座標 q の導出については、判別式の路線 ...
2024年度京大理系 各解説記事 １５０分 ６題 記述式 と、形式に変更はありませんが、 2023年度の 35点問題×４題＋30点問題×２題 に対して、2024年度は 30点問題×４題＋40点問題×２題 と配点が変わりました。 分野的トピックス ６題中４題に数Ⅲが絡んでいます。特にオチが極限という問題が３題ありました。 また、昨年(2023年度)あった小問集合はなくなりました。 各大問について 第１問（標準） 問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） n 色を準備し、立方体の ...
2024年度 京都大学理系第６問【整数部分がn桁であるものの中で最高位の数字が１となるものの割合】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 2^{\sqrt{k}} の整数部分が n 桁となるものの中で、最高位の数字が 1 となるものの割合について、その極限を考える問題です。 2^{\sqrt{k}} が n 桁ということは 10^{n-1} \leq 2^{\sqrt{k}} \lt 10^{n} ということになり、整理すると \((\displaystyle \frac{n-1}{\log_{10}{2}})^{2} \leq ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 連立不等式で表された領域の面積と、その極限に関する問題です。 今回扱う y=\displaystyle \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} , y=\displaystyle \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} は双曲線関数と呼ばれる有名曲線であり、 \sinh{x}=\displaystyle \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} , \(\cosh{x}=\displaystyle ...
2024年度 京都大学理系第４問【条件によって分岐する漸化式】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 項の偶奇によって、次の項を定めるための漸化式が変化する、変則的な漸化式についての問題です。 最初の一歩目に大きな山場があり、その山場をクリアーすれば計算量は少なくシンプルに解決に向かうという京大らしい問題です。 (1) , (2) がほぼ同じ要領であるため、(1) ができれば (2) も解決する可能性が高く、逆に (1) ができないと (2) も厳しいでしょう。 スタートの a_{0} から奇数が連続するということは奇数が連続してい ...
2024年度 京都大学理系第３問【２直線がねじれの位置にあるための必要十分条件】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ２直線がねじれの位置にあるための必要十分条件を考える問題です。 必要十分条件ということであり、ねじれの位置にあるということを正確に翻訳するということになります。 直線 \mathrm{PX} , 直線 \mathrm{QY}がねじれの位置にあるとは 直線 \mathrm{PX} , 直線 \mathrm{QY} が平行でない かつ 直線 \mathrm{PX} , 直線 \mathrm{QY} ...
2024年度 京都大学理系第２問【独立に動く２点を結ぶ線分の中点の存在領域】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 円板上の点と円周上の点を両端にもつ線分の中点の存在領域を考える問題です。 複素数 x , y はお互いに干渉することなく、独立に動くため、 まずは片方を固定し、１つずつ動かす という予選決勝法の考え方で捌いていくことを考えます。 その際、先にどちらを固定するかという点で体感のやりやすさ・やりにくさが若干変わってきます。 複素数を複素数のまま扱う方法もありますし、実部・虚部を持ち出し、 z=p+qi などとおいて、この ...
更新・追記記事（新着順）
いびつなサイコロ【不変量に注目】【2008年度 東京工業大学ほか】
例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 各面が等確率で出ないサイコロを考えるという設定で、この設定にバリバリ慣れ親しんでいますという人は多くはないでしょう。 昔名古屋大学で直方体のサイコロに関する論証問題がありましたが、本問は直方体とも限らないということで攻め崩す急所をどのように見出していくかが問われます。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について k=1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \ , \ 6 として、\ ...
king property【対称性を利用した置換積分】【2005年度 名古屋大学ほか】
例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） king property (キングプロパティー) と呼ばれる置換積分がバックボーンにあります。 ノーヒントだと泡を吹く受験生が多数出てくるでしょう。 ただ、誘導自体にも骨があるため、定積分というものをきちんと理解しているかが問われます。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 定積分は「値」 本問を理解するにあたっては、積分計算において「生き残る文字」についてパッと読み取れる力が必要です。 例題 \(\di ...
直交２接線の交点の軌跡【放物線の準線】【2013年度 山梨大学】
例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 放物線に対する直交２接線の交点の軌跡を求めるという有名テーマです。 精力的に学習している人は結論を知っているでしょう。 今回はそのような有名テーマを押さえつつ、プラスアルファでの問いかけについても併せて考えてみます。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 直交２接線の交点について (1)は有名テーマです。 曲線外の点から引いた接線の立式の仕方は、「接点を設定する」ということから始 ...
定積分の難問【対称な積分区間】【2019年度 静岡県立大学】
例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 定積分の計算というシンプルなオチですが、ノーヒントではほとんど差がつかないでしょう。 特に (3) で誘導の使い方が分からないと、頭に血が昇り、ムキになって 誘導に頼らずやってやる と、ますます深みに嵌まってしまうかもしれません。 そこまで複雑そうな関数にも見えないので尚更です。 最近では、こういったあまりに技巧的な要素を含む問題を嫌う傾向にありますが、芸術鑑賞と考えれば本問の話の進み方は初見の方にとっては感動的です。 （以下ネタバレ注意） ...
sinの和とcosの積【和積公式の運用】【2008年度 首都大学東京】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 「おっ？」と思うような見た目と構成をしていますが、中身は三角関数の諸公式の運用を試す基本的な問題です。 特に (2) は割と有名な等式です。 一般論に拡張できるような雰囲気を醸し出しておきながら、最後に裏切られてしまうのは何とも言えません。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について x+y=\pi という従属２変数に関する扱いであり、 基本 １文字消去 を狙っていくのが素直です。 (2 ...
いびつなサイコロ【不変量に注目】【2008年度 東京工業大学ほか】
例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 各面が等確率で出ないサイコロを考えるという設定で、この設定にバリバリ慣れ親しんでいますという人は多くはないでしょう。 昔名古屋大学で直方体のサイコロに関する論証問題がありましたが、本問は直方体とも限らないということで攻め崩す急所をどのように見出していくかが問われます。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について k=1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \ , \ 6 として、\ ...
king property【対称性を利用した置換積分】【2005年度 名古屋大学ほか】
例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） king property (キングプロパティー) と呼ばれる置換積分がバックボーンにあります。 ノーヒントだと泡を吹く受験生が多数出てくるでしょう。 ただ、誘導自体にも骨があるため、定積分というものをきちんと理解しているかが問われます。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 定積分は「値」 本問を理解するにあたっては、積分計算において「生き残る文字」についてパッと読み取れる力が必要です。 例題 \(\di ...
直交２接線の交点の軌跡【放物線の準線】【2013年度 山梨大学】
例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 放物線に対する直交２接線の交点の軌跡を求めるという有名テーマです。 精力的に学習している人は結論を知っているでしょう。 今回はそのような有名テーマを押さえつつ、プラスアルファでの問いかけについても併せて考えてみます。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 直交２接線の交点について (1)は有名テーマです。 曲線外の点から引いた接線の立式の仕方は、「接点を設定する」ということから始 ...
定積分の難問【対称な積分区間】【2019年度 静岡県立大学】
例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 定積分の計算というシンプルなオチですが、ノーヒントではほとんど差がつかないでしょう。 特に (3) で誘導の使い方が分からないと、頭に血が昇り、ムキになって 誘導に頼らずやってやる と、ますます深みに嵌まってしまうかもしれません。 そこまで複雑そうな関数にも見えないので尚更です。 最近では、こういったあまりに技巧的な要素を含む問題を嫌う傾向にありますが、芸術鑑賞と考えれば本問の話の進み方は初見の方にとっては感動的です。 （以下ネタバレ注意） ...
sinの和とcosの積【和積公式の運用】【2008年度 首都大学東京】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 「おっ？」と思うような見た目と構成をしていますが、中身は三角関数の諸公式の運用を試す基本的な問題です。 特に (2) は割と有名な等式です。 一般論に拡張できるような雰囲気を醸し出しておきながら、最後に裏切られてしまうのは何とも言えません。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について x+y=\pi という従属２変数に関する扱いであり、 基本 １文字消去 を狙っていくのが素直です。 (2 ...
いびつなサイコロ【不変量に注目】【2008年度 東京工業大学ほか】
例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 各面が等確率で出ないサイコロを考えるという設定で、この設定にバリバリ慣れ親しんでいますという人は多くはないでしょう。 昔名古屋大学で直方体のサイコロに関する論証問題がありましたが、本問は直方体とも限らないということで攻め崩す急所をどのように見出していくかが問われます。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について k=1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \ , \ 6 として、\ ...
king property【対称性を利用した置換積分】【2005年度 名古屋大学ほか】
例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） king property (キングプロパティー) と呼ばれる置換積分がバックボーンにあります。 ノーヒントだと泡を吹く受験生が多数出てくるでしょう。 ただ、誘導自体にも骨があるため、定積分というものをきちんと理解しているかが問われます。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 定積分は「値」 本問を理解するにあたっては、積分計算において「生き残る文字」についてパッと読み取れる力が必要です。 例題 \(\di ...
直交２接線の交点の軌跡【放物線の準線】【2013年度 山梨大学】
例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 放物線に対する直交２接線の交点の軌跡を求めるという有名テーマです。 精力的に学習している人は結論を知っているでしょう。 今回はそのような有名テーマを押さえつつ、プラスアルファでの問いかけについても併せて考えてみます。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 直交２接線の交点について (1)は有名テーマです。 曲線外の点から引いた接線の立式の仕方は、「接点を設定する」ということから始 ...
MathClinic（マスクリ）にようこそ
このサイトでは主に大学入試における数学の問題の解説をしています。
扱っている問題はそれなりのレベルで骨のある問題だとは思いますが、考えがいがあり、勉強する価値がある良問を提供します。
テーマ別演習について
各分野について、単発で終わらせるよりもシリーズものとして提供した方がいいと判断した話題についてはこちらで提供します。
古典的で由緒ある名作、歴史的・数学的に価値のある話題、などを中心に提供していきます。
ただし、時間に限りのある受験生にとって、あまりにマニアックな話題や自己満足に偏りすぎた話題を次から次へと提供するのも忍びないので、あくまで
「難関大入試において、十分な合格点を確保することを目的とした話題」
ということを念頭におきたいと思います。
テーマ別演習（各講第１回）
数値評価 第１講【円周率πの評価】【2019年度 埼玉大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 「数値評価」というテーマを扱います。 このシリーズの一覧はこちら 今回は円周率 \pi の評価です。 第１回ということもあり、まずは丁寧な誘導のついた問題をもってきました。 (1)は展開して定積分を計算するだけです。 (2)は x=\tan\theta \((-\displaystyle\frac{\pi}{2} \lt \theta \lt \displaystyle\frac ...
ペル方程式 第１講 【ペル方程式とは】【ペル方程式の解とn乗展開】【2010年度 三重大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 表向きは数学的帰納法の標準的な練習問題です。 本問を解くだけならば、そこまで難しい話ではありません。 （『数学的帰納法により示せ』と方針まで書いてくれています。） ただ、それで終わらすにはもったいない話題である「ペル方程式」を扱った問題なので、少しふれておこうと思い、今回シリーズものとしてテーマ別演習で扱うことにしました。 このシリーズの一覧はこちら ペル方程式とは x^2-Dy^2=\pm 1 ( \( ...
数学的帰納法と背理法 第１講【互いに素であることの証明】【2002年度 東京大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら 数学における２大証明法「数学的帰納法」と「背理法」のコラボレーション問題です。 指導者側からすると「ハイハイこれね」と言いたくなるぐらい手垢のついた問題ですが、初めて解いた時の気持ちよさは今でも覚えています。 漸化式に関する証明問題では帰納法を用いるのが常套手段です。 本問では「互いに素」であることを証明するために背理法を用いることになります。 矛盾の仕方が個人的に気持ちいいですね。 ( ...
フィボナッチ数列とリュカ数列 第１講【ビネの公式と黄金比】【フィボナッチ数列の和】【1994年度 関西医科大学ほか】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。 シリーズ一覧 第１講はフィボナッ ...
一般化 第１講【形から関数を設定する】【2015年度 信州大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回のテーマ別演習では「一般化」という考え方を自分のモノにします。 問題文で与えられている特殊なシチュエーションを、より一般のシチュエーションに拡張して考えるという手法です。 このシリーズの一覧はコチラ 第１講では、形から関数を設定する力を身につけることを目標とします。 例題の問題は非常にシンプルですが、しっかりと基礎的な部分で差が付きます。 数学の発想の素となる 「こういうことをしてみたい（調べてみたい）」 という素朴な気持ちや感性を鍛えて ...
逆像法 第１講【逆像法の考え方と使いどころをマスター】【最大最小問題への応用】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回は難関大を目指すにあたっては避けて通れない話題である「逆像法」について扱います。 このシリーズを通じて 逆像法のもつイメージ 逆像法の代表的な使いどころ をマスターし、状況に応じて自分で使いこなせるようにすることでライバルに差をつけましょう。 このシリーズの一覧はこちら 代表的な使いどころ 入試によく出題される話題の中で、逆像法が有効にはたらく場面というのは以下の話題です。 逆像法の代表的な使いどころ 最大最小問題への応用 ...
18°絡みの三角比 第１講【黄金三角形の黄金分割】【2009年度 大阪教育大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。 代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。 このシリーズの一覧はこちら 第１講は 黄金三角形の黄金分割 という話題です。 黄金比について 長方形 A から正方形を切り取って 残った長方形を B とします。 A と B が相似であるとき、長方形 A を黄金長方形といい、その縦横比を 1 : x とすると、 \(1 : ...
漸化式の解法基本パターン 第１講【２項間漸化式：ズラせば等比数列】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 漸化式は問題を解く中で処理しなければならない場面が多々あります。 確率漸化式などの確率や場合の数の分野との融合 点列など、座標との融合 整数問題との融合 など、漸化式は道具として使う場面が多々あります。 漸化式が立式できても、それが解けないとなると意味がありませんから、基本的な漸化式についてはきちんと処理できる必要があります。 そこで基本的な漸化式について一通りこのシリーズで押さえておきたいと思います このシリーズの一覧はこちら ...
シグマ計算基本方針 第１講【公式確認とその延長】【2010年度 九州大学など】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回からテーマ別演習でパターン性の濃い計算技法を扱っていこうと思います。 今回のテーマは「シグマ計算」です。 このシリーズの一覧はこちら 最初にまとめておきます。 シグマ計算の基本方針は次の３つです。 シグマ計算基本方針 公式利用とその延長 差分解からの和の中抜け 二項定理の活用 第１講はまずシグマ計算の公式の確認と、その延長について扱います。 手始めにまずは上の問題で公式の確認と、その証明をしてみてください。 最 ...
全称命題 第１講【恒等式として等号が成立するための条件】【1990年度 東京工業大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 「全称命題」というテーマ性のある話題を扱います。 これは分野は関係なく、「考え方」に難しさがあり、独特な議論の進め方をします。 対応を知らないと、白紙になってしまったり、見当はずれなことを場当たり的に書いて終了してしまいかねません。 全称命題だと見抜く「眼」と、見抜いた後の「対応」の両輪をきちんと揃えておき、ライバルに差をつけましょう。 シリーズ一覧はこちら 今回は恒等式となるための条件を考えるという問題です。 見た目が仰々しく ...
ピタゴラス数 第１講【平方剰余】【2004年度 旭川医科大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） a^{2}+b^{2}=c^{2} を満たす自然数 (a \ , \ b \ , \ c \ ) の組をピタゴラス数と言い、特に a , b , c のどの２つも互いに素であるとき、原始ピタゴラス数と言います。 原始ピタゴラス数に関する入試問題は頻出であり、今回は何題かピックアップしてシリーズものとして取り上げたいと思います。 シリーズ一覧はこちら 今回は第１講ということで ...
定積分と不等式評価 第１講【定積分の評価方法】【2001年度 大分医科大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 多くの人が苦手とする話題である「定積分と不等式評価」という話題です。 特に現役生の勝負のカギは数Ⅲの完成度にあると言っても過言ではないのですが、結局この分野を苦手としたまま当日をむかえてしまうことになる受験生は沢山いるでしょう。 そんな受験生たちに差をつけましょう。 このシリーズの一覧はこちら 不等式評価には絶対的な正解がありません。 例えば 1 \lt □ の □ に何を入れるかと言われたら人によるところ ...
チェビシェフの多項式 第１講【第１種チェビシェフ多項式】【2008年度 東京慈恵会医科大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 このシリーズのまとめはこちら まず、 \cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta}) を満たす多項式 T_{n}(x) のことを（第１種）チェビシェフの多項式といいます。 例をあげ ...
数値評価 第１講【円周率πの評価】【2019年度 埼玉大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 「数値評価」というテーマを扱います。 このシリーズの一覧はこちら 今回は円周率 \pi の評価です。 第１回ということもあり、まずは丁寧な誘導のついた問題をもってきました。 (1)は展開して定積分を計算するだけです。 (2)は x=\tan\theta \((-\displaystyle\frac{\pi}{2} \lt \theta \lt \displaystyle\frac ...
ペル方程式 第１講 【ペル方程式とは】【ペル方程式の解とn乗展開】【2010年度 三重大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 表向きは数学的帰納法の標準的な練習問題です。 本問を解くだけならば、そこまで難しい話ではありません。 （『数学的帰納法により示せ』と方針まで書いてくれています。） ただ、それで終わらすにはもったいない話題である「ペル方程式」を扱った問題なので、少しふれておこうと思い、今回シリーズものとしてテーマ別演習で扱うことにしました。 このシリーズの一覧はこちら ペル方程式とは x^2-Dy^2=\pm 1 ( \( ...
数学的帰納法と背理法 第１講【互いに素であることの証明】【2002年度 東京大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら 数学における２大証明法「数学的帰納法」と「背理法」のコラボレーション問題です。 指導者側からすると「ハイハイこれね」と言いたくなるぐらい手垢のついた問題ですが、初めて解いた時の気持ちよさは今でも覚えています。 漸化式に関する証明問題では帰納法を用いるのが常套手段です。 本問では「互いに素」であることを証明するために背理法を用いることになります。 矛盾の仕方が個人的に気持ちいいですね。 ( ...
フィボナッチ数列とリュカ数列 第１講【ビネの公式と黄金比】【フィボナッチ数列の和】【1994年度 関西医科大学ほか】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。 シリーズ一覧 第１講はフィボナッ ...
一般化 第１講【形から関数を設定する】【2015年度 信州大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回のテーマ別演習では「一般化」という考え方を自分のモノにします。 問題文で与えられている特殊なシチュエーションを、より一般のシチュエーションに拡張して考えるという手法です。 このシリーズの一覧はコチラ 第１講では、形から関数を設定する力を身につけることを目標とします。 例題の問題は非常にシンプルですが、しっかりと基礎的な部分で差が付きます。 数学の発想の素となる 「こういうことをしてみたい（調べてみたい）」 という素朴な気持ちや感性を鍛えて ...
逆像法 第１講【逆像法の考え方と使いどころをマスター】【最大最小問題への応用】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回は難関大を目指すにあたっては避けて通れない話題である「逆像法」について扱います。 このシリーズを通じて 逆像法のもつイメージ 逆像法の代表的な使いどころ をマスターし、状況に応じて自分で使いこなせるようにすることでライバルに差をつけましょう。 このシリーズの一覧はこちら 代表的な使いどころ 入試によく出題される話題の中で、逆像法が有効にはたらく場面というのは以下の話題です。 逆像法の代表的な使いどころ 最大最小問題への応用 ...
18°絡みの三角比 第１講【黄金三角形の黄金分割】【2009年度 大阪教育大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。 代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。 このシリーズの一覧はこちら 第１講は 黄金三角形の黄金分割 という話題です。 黄金比について 長方形 A から正方形を切り取って 残った長方形を B とします。 A と B が相似であるとき、長方形 A を黄金長方形といい、その縦横比を 1 : x とすると、 \(1 : ...
漸化式の解法基本パターン 第１講【２項間漸化式：ズラせば等比数列】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 漸化式は問題を解く中で処理しなければならない場面が多々あります。 確率漸化式などの確率や場合の数の分野との融合 点列など、座標との融合 整数問題との融合 など、漸化式は道具として使う場面が多々あります。 漸化式が立式できても、それが解けないとなると意味がありませんから、基本的な漸化式についてはきちんと処理できる必要があります。 そこで基本的な漸化式について一通りこのシリーズで押さえておきたいと思います このシリーズの一覧はこちら ...
シグマ計算基本方針 第１講【公式確認とその延長】【2010年度 九州大学など】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回からテーマ別演習でパターン性の濃い計算技法を扱っていこうと思います。 今回のテーマは「シグマ計算」です。 このシリーズの一覧はこちら 最初にまとめておきます。 シグマ計算の基本方針は次の３つです。 シグマ計算基本方針 公式利用とその延長 差分解からの和の中抜け 二項定理の活用 第１講はまずシグマ計算の公式の確認と、その延長について扱います。 手始めにまずは上の問題で公式の確認と、その証明をしてみてください。 最 ...
全称命題 第１講【恒等式として等号が成立するための条件】【1990年度 東京工業大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 「全称命題」というテーマ性のある話題を扱います。 これは分野は関係なく、「考え方」に難しさがあり、独特な議論の進め方をします。 対応を知らないと、白紙になってしまったり、見当はずれなことを場当たり的に書いて終了してしまいかねません。 全称命題だと見抜く「眼」と、見抜いた後の「対応」の両輪をきちんと揃えておき、ライバルに差をつけましょう。 シリーズ一覧はこちら 今回は恒等式となるための条件を考えるという問題です。 見た目が仰々しく ...
ピタゴラス数 第１講【平方剰余】【2004年度 旭川医科大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） a^{2}+b^{2}=c^{2} を満たす自然数 (a \ , \ b \ , \ c \ ) の組をピタゴラス数と言い、特に a , b , c のどの２つも互いに素であるとき、原始ピタゴラス数と言います。 原始ピタゴラス数に関する入試問題は頻出であり、今回は何題かピックアップしてシリーズものとして取り上げたいと思います。 シリーズ一覧はこちら 今回は第１講ということで ...
定積分と不等式評価 第１講【定積分の評価方法】【2001年度 大分医科大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 多くの人が苦手とする話題である「定積分と不等式評価」という話題です。 特に現役生の勝負のカギは数Ⅲの完成度にあると言っても過言ではないのですが、結局この分野を苦手としたまま当日をむかえてしまうことになる受験生は沢山いるでしょう。 そんな受験生たちに差をつけましょう。 このシリーズの一覧はこちら 不等式評価には絶対的な正解がありません。 例えば 1 \lt □ の □ に何を入れるかと言われたら人によるところ ...
チェビシェフの多項式 第１講【第１種チェビシェフ多項式】【2008年度 東京慈恵会医科大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 このシリーズのまとめはこちら まず、 \cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta}) を満たす多項式 T_{n}(x) のことを（第１種）チェビシェフの多項式といいます。 例をあげ ...
数値評価 第１講【円周率πの評価】【2019年度 埼玉大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 「数値評価」というテーマを扱います。 このシリーズの一覧はこちら 今回は円周率 \pi の評価です。 第１回ということもあり、まずは丁寧な誘導のついた問題をもってきました。 (1)は展開して定積分を計算するだけです。 (2)は x=\tan\theta \((-\displaystyle\frac{\pi}{2} \lt \theta \lt \displaystyle\frac ...
ペル方程式 第１講 【ペル方程式とは】【ペル方程式の解とn乗展開】【2010年度 三重大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 表向きは数学的帰納法の標準的な練習問題です。 本問を解くだけならば、そこまで難しい話ではありません。 （『数学的帰納法により示せ』と方針まで書いてくれています。） ただ、それで終わらすにはもったいない話題である「ペル方程式」を扱った問題なので、少しふれておこうと思い、今回シリーズものとしてテーマ別演習で扱うことにしました。 このシリーズの一覧はこちら ペル方程式とは x^2-Dy^2=\pm 1 ( \( ...
数学的帰納法と背理法 第１講【互いに素であることの証明】【2002年度 東京大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら 数学における２大証明法「数学的帰納法」と「背理法」のコラボレーション問題です。 指導者側からすると「ハイハイこれね」と言いたくなるぐらい手垢のついた問題ですが、初めて解いた時の気持ちよさは今でも覚えています。 漸化式に関する証明問題では帰納法を用いるのが常套手段です。 本問では「互いに素」であることを証明するために背理法を用いることになります。 矛盾の仕方が個人的に気持ちいいですね。 ( ...
実践演習について
各分野についての単元学習を終え、一通りの典型問題を学習した方を対象として、より実践的なレベルの演習教材を提供します。
汎用性の高い内容を含むトピックスについてはレベルの有無によらず適宜入れていく予定です。
（数がある程度まとまってきたら、別項目で整理するかもしれません。）
実際の試験場では、いたずらに設定が複雑だったり、結局この問題は何がやらせたかったんだ？と思うような問題に出くわすこともあるでしょうが、それを経験するのは過去問演習の段階で十分です。
- 内容やテーマを出来る限りシンプルに聞いている
- 解いた後「今日はこの話題をマスターしたぞ」という実感が得られる
そんな良問をセレクトしていきます。
実践演習（新着順）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 文字を含んだ式の大小を比較する問題です。 単純に差を取って解決すれば問題ないのですが、差をとっても埒があかない問題もあるでしょう。 本問は誘導はなく、方針から自力で考える問題です。 もちろん、取っ掛かりとなる部分は無理のない範囲の発想です。 愚直に攻めてもよし、工夫して鮮やかに捌いてもよしという調理の仕方に幅のある問題です。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 路線１：愚直に攻める 今回の２数 \(\displayst ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） とてもシンプルな題意ですが、見かけとは裏腹にとっかかりが見えにくい難問です。 「逆ならいえるのに」という類の問題で論証色が強いため、傷がないように話を進めるとなると神経も使います。 千葉大の整数問題は割と本格的な問題も多いため、試験場では取捨選択も含めた判断がいるでしょう。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 路線１：有理数の設定 ひとまず、 \((a+bi)^{2}=(a^{2}-b^{2})+2abi ...
例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \sqrt[n]{n} の極限についての問題です。 \sqrt[n]{n}=n^{\frac{1}{n}} ですから、{\infty}^{0} という形の不定形ということになります。 本問は丁寧な誘導がついていますので、その誘導に乗れれば、完答することは難しくはありません。 その誘導自体も定番の不等式なので、経験があれば即沈みます。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 例題について ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 2021年度入試の中でも注目度が一際高かった問題です。 問題文の意味自体は下手すると小学生でも分かりますが、実際に試験場で見ると面食らう受験生も多かったかもしれません。 実際に自分ではできたつもりでも、実は数え方がマズく証明できていないということにもなりかねないため、自分の手応えと実際の出来具合にはギャップがあるかもしれません。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 方向性 素数よりも合成数の方が数えやすい ...
例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題３はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 高次の多項式に関する余りを求める問題で、頻出のトピックスです。 例題からスタートし、徐々に難易度が上がっていきます。 最後の類題３については、難易度は高めです。 この類の問題に一度でも経験があると舐める人もいそうですが、逆にそういう人の足を掬うよう ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 文字を含んだ式の大小を比較する問題です。 単純に差を取って解決すれば問題ないのですが、差をとっても埒があかない問題もあるでしょう。 本問は誘導はなく、方針から自力で考える問題です。 もちろん、取っ掛かりとなる部分は無理のない範囲の発想です。 愚直に攻めてもよし、工夫して鮮やかに捌いてもよしという調理の仕方に幅のある問題です。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 路線１：愚直に攻める 今回の２数 \(\displayst ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） とてもシンプルな題意ですが、見かけとは裏腹にとっかかりが見えにくい難問です。 「逆ならいえるのに」という類の問題で論証色が強いため、傷がないように話を進めるとなると神経も使います。 千葉大の整数問題は割と本格的な問題も多いため、試験場では取捨選択も含めた判断がいるでしょう。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 路線１：有理数の設定 ひとまず、 \((a+bi)^{2}=(a^{2}-b^{2})+2abi ...
例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \sqrt[n]{n} の極限についての問題です。 \sqrt[n]{n}=n^{\frac{1}{n}} ですから、{\infty}^{0} という形の不定形ということになります。 本問は丁寧な誘導がついていますので、その誘導に乗れれば、完答することは難しくはありません。 その誘導自体も定番の不等式なので、経験があれば即沈みます。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 例題について ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 2021年度入試の中でも注目度が一際高かった問題です。 問題文の意味自体は下手すると小学生でも分かりますが、実際に試験場で見ると面食らう受験生も多かったかもしれません。 実際に自分ではできたつもりでも、実は数え方がマズく証明できていないということにもなりかねないため、自分の手応えと実際の出来具合にはギャップがあるかもしれません。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 方向性 素数よりも合成数の方が数えやすい ...
例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題３はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 高次の多項式に関する余りを求める問題で、頻出のトピックスです。 例題からスタートし、徐々に難易度が上がっていきます。 最後の類題３については、難易度は高めです。 この類の問題に一度でも経験があると舐める人もいそうですが、逆にそういう人の足を掬うよう ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 文字を含んだ式の大小を比較する問題です。 単純に差を取って解決すれば問題ないのですが、差をとっても埒があかない問題もあるでしょう。 本問は誘導はなく、方針から自力で考える問題です。 もちろん、取っ掛かりとなる部分は無理のない範囲の発想です。 愚直に攻めてもよし、工夫して鮮やかに捌いてもよしという調理の仕方に幅のある問題です。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 路線１：愚直に攻める 今回の２数 \(\displayst ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） とてもシンプルな題意ですが、見かけとは裏腹にとっかかりが見えにくい難問です。 「逆ならいえるのに」という類の問題で論証色が強いため、傷がないように話を進めるとなると神経も使います。 千葉大の整数問題は割と本格的な問題も多いため、試験場では取捨選択も含めた判断がいるでしょう。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 路線１：有理数の設定 ひとまず、 \((a+bi)^{2}=(a^{2}-b^{2})+2abi ...
例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \sqrt[n]{n} の極限についての問題です。 \sqrt[n]{n}=n^{\frac{1}{n}} ですから、{\infty}^{0} という形の不定形ということになります。 本問は丁寧な誘導がついていますので、その誘導に乗れれば、完答することは難しくはありません。 その誘導自体も定番の不等式なので、経験があれば即沈みます。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 例題について ...
仮想難関大（オリジナル予想問題）について
東京大学、京都大学など旧帝大、東工大、国公立大医学部医学科など難関大学理系を想定して自作した問題たちです。
パズル的な問題ではなく、難関大学の入試を意識して作問しました。
「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」
という方はぜひどうぞ。
仮想難関大（オリジナル予想問題）（新着順）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は幾何の問題です。 重心や外心、内心などは幾何的性質も豊富ですが、垂心についての幾何的性質については中々スポットが当たらないので、これを機に考えてみてほしいと思います。 難易度は冷静な状態であればやや易でしょうが、試 ...
仮想難関大（オリジナル予想問題）【微積分～面積比一定問題～】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は微積分の問題です。 y=xe^{nx} という関数の面白い性質を問いにしました。 基本的な微積分の練習問題としてご活用ください。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む ( ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は確率の問題です。 シンプルな題意とは裏腹に意外と考えにくさがあると思います。 切れ味鋭く切れ込む解答を見ると、京大らしく感じるでしょうし、愚直に進めるとスタミナが必要な東大らしさを感じると思います。 （以下ネタバレ ...
仮想難関大（オリジナル予想問題）【整数～階乗と平方数～】【ブロカールの問題】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は整数の問題です。 ブロカールの問題と言われる次の問題があります。 ブロカールの問題 n を正の整数として、 a_{n}=n!+1 とするとき、a_{n} が平方数となる n を全て求 ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は整数の問題です。 等差数列の中で連続する素数の個数を考える問題です。 これについては グリーン・タオの定理 任意の正の整数 n に対して、n 個の項からなる素数等差数列が存在する。 というテレンス・ ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は幾何の問題です。 重心や外心、内心などは幾何的性質も豊富ですが、垂心についての幾何的性質については中々スポットが当たらないので、これを機に考えてみてほしいと思います。 難易度は冷静な状態であればやや易でしょうが、試 ...
仮想難関大（オリジナル予想問題）【微積分～面積比一定問題～】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は微積分の問題です。 y=xe^{nx} という関数の面白い性質を問いにしました。 基本的な微積分の練習問題としてご活用ください。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む ( ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は確率の問題です。 シンプルな題意とは裏腹に意外と考えにくさがあると思います。 切れ味鋭く切れ込む解答を見ると、京大らしく感じるでしょうし、愚直に進めるとスタミナが必要な東大らしさを感じると思います。 （以下ネタバレ ...
仮想難関大（オリジナル予想問題）【整数～階乗と平方数～】【ブロカールの問題】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は整数の問題です。 ブロカールの問題と言われる次の問題があります。 ブロカールの問題 n を正の整数として、 a_{n}=n!+1 とするとき、a_{n} が平方数となる n を全て求 ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は整数の問題です。 等差数列の中で連続する素数の個数を考える問題です。 これについては グリーン・タオの定理 任意の正の整数 n に対して、n 個の項からなる素数等差数列が存在する。 というテレンス・ ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は幾何の問題です。 重心や外心、内心などは幾何的性質も豊富ですが、垂心についての幾何的性質については中々スポットが当たらないので、これを機に考えてみてほしいと思います。 難易度は冷静な状態であればやや易でしょうが、試 ...
仮想難関大（オリジナル予想問題）【微積分～面積比一定問題～】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は微積分の問題です。 y=xe^{nx} という関数の面白い性質を問いにしました。 基本的な微積分の練習問題としてご活用ください。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む ( ...
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は確率の問題です。 シンプルな題意とは裏腹に意外と考えにくさがあると思います。 切れ味鋭く切れ込む解答を見ると、京大らしく感じるでしょうし、愚直に進めるとスタミナが必要な東大らしさを感じると思います。 （以下ネタバレ ...
解答について
まずは解答を読む前に自力で考えてみてください。
問題を解けるようになるためには、問題の難しさを実感することが必要です。
特に、実践的な演習においては一つの問題に対して粘り強く取り組む姿勢が今後の伸びを左右します。
「ギブアップするのが悔しい」と思えるぐらい真剣に考えていただきたいです。
記事の中にはネタバレの内容も少し含まれています。
そういったものは極力スライドボックスで隠しました。
問題と解答はPDFファイルで準備してあります。
解答の構成は【戦略】【解答】【総括】の３項目です。
極力天下り感が出ないように心がけて書いていますし、これからも心がけます。
ただし、一通りの典型的な問題の処理力や、基本的な計算技能が身についているということを前提とした解答であることをご了承ください。