月別アーカイブ:2022年05月

2022/5/30

ペル方程式 第4講【ペル方程式の解と近似】【1984年度 一橋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) ペル方程式の第4講は 「ペル方程式の解と近似」 という話題を扱います。 この話題を扱ううえでうってつけの例題です。 ペル方程式の解を用いて、\(\sqrt{2}\) の近似の精度をよくできるということを証明するというオチです。 初見であっても適切な誘導があり、割と親切な設計となっているため完答を狙いたいところです。 このシリーズの一覧はこちら (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む (1) について このシリーズで散々扱っ ...

2022/5/28

tanに関する不等式証明【相加平均と相乗平均の間】【1991年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(\mathrm{tan}\) に関する不等式証明であり、「平均値の代入値」が \(\tan{a}\) と \(\tan{b}\) の相加平均と相乗平均の間に挟まれることを示させる問題です。 相加平均や相乗平均などの意味のある形の式が登場するため、目を引く主張ですね。 京大受験生であれば、右側の不等式については何らかの形で捌いてほしいとは思います。 難しいのは左側の不等式の証明で、何かしらの切れ味が求められます。 ただ、その発想は突拍子もな ...

2022/5/26

サイクリックな形の2次関数の最大値【1964年度 横浜国立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(a\) ,  \(b\) ,  \(c\) についての対称性(巡回性)をもった2次方程式、2次関数の最大値について考える問題です。 とりわけ (2) は絶対値付きの2次関数の最大値ということで、色々うるさそうな問題に見える反面、 なんかうまくできそう という気を掻き立ててきます。 こういう香ばしい匂いのする問題はある意味危険で、深入りしすぎて爆死する可能性も孕んでおり、試験場においては冷静な判断が求められるでしょう。 (以下ネタバレ注意) ...

2022/5/23

独立2変数の絶対不等式【2005年度 東京理科大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 1変数に関する絶対不等式をもとに、独立2変数に関する絶対不等式まで扱う問題です。 (1) は定番中の定番の話題で、(2) も学習を進めている人からすれば経験しているという人も多いでしょう。 (2) は噛み砕き力があれば、初見でも対応は可能です。 ただ、マニュアルに依存していると何が言えればよいのかを噛み砕けず立ち往生しかねません。 結果的に分からなくて解答を見ること自体は否定しません。 知らなきゃキツイ問題や、経験に依存する問題があるのも事実 ...

2022/5/20

放物線の交点による四角形の対角線【2011年度 立命館大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 放物線の交点によってできる四角形の対角線の方程式を求めるという問題です。 まともにカチ合うと茨の道であることは目に見えると思います。 テーマ的には 交点を通る図形の方程式 というテーマです。 よくあるのは 円と円の交点を通る円または直線 について扱った問題で、単元学習時点ではクセの強さゆえ、中々自分のものにするのが大変なトピックスだったと思います。 本問はそのような基本問題をしっかりと自分のものにしているという前提で、その考えを使いこなす応用 ...

2022/5/17

放物線の3接線による三角形の外接円【シムソンの定理の応用】【1962年度 東京農工大】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 放物線の任意の3接線による三角形の外接円が、必ずその放物線の焦点を通るという美しい性質の証明です。 そそる見た目をしていますが、うまく頭を切り替えないと泥沼に嵌まりそうです。 (1) の設問が絶妙なヒントになっていますが、これをヒントと捉えられるかが問題です。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む (1) について 放物線の焦点からの垂足曲線を考える問題です。 \(y^{2}=4px\) の両辺を \(x\) で微分する ...

2022/5/13

直角三角形の外側に作る二等辺三角形による正三角形【1986年度 福井大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 直角三角形の外側に作る二等辺三角形によって正三角形ができるという話題です。 どんな直角三角形に対しても、外側に頂角 \(120^{\circ}\) の二等辺三角形を配置することで正三角形が作れるという事実は面白いですね。 本問は誘導がついていましたが、誘導があると面白みが薄れるため、今回は誘導設問はカットしました。 ノーヒントで取り組んでみてください。 ノーヒントでも無理なく捌ききれるレベルだと思います。 (以下ネタバレ注意)   ...

2022/5/10

放物線上の4点によって作られる四角形の面積の最大【1990年度 横浜市立大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 放物線上の4点によって作られる四角形の面積の最大値を考える問題です。 すごくシンプルな問題に見えますが、完答するためには確固たる足腰が必要な問題です。 手際が悪いと案外打ち損じてしまう可能性も十分ありますが、地道に鍛錬を重ねてきた人は初見であってもキッチリと確保してくるでしょう。 そういった意味で合否の分かれ目となりそうなレベルの標準問題です。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 座標の設定 ひとまずは、 ...

2022/5/6

周期性をもつ3項間漸化式【1992年度 早稲田大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) ある漸化式の特性方程式が虚数解をもつときに、その漸化式によって定まる数列が周期性をもつような条件を考える問題です。 睨めっこしだすと頭に血が昇ってしまいますが、色々手を動かしていくうちに打開策が見えてきます。 一難去ってまた一難という感じで、山場が次々とやってきますので、それらを払いのけ、完答するためには確かな力が必要です。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む ひとまず実験 この3項間漸化式を「解きにいく ...

2022/5/4

コッホ雪片【フラクタル図形】【2010年度 北海道大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) コッホ雪片と呼ばれる有名な図形を題材とした問題です。 操作の意味と特徴をしっかりと把握できれば、問題の難易度自体は標準的な難易度です。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 今回の操作 今回の操作は というように、外側に「ボコ」っと盛り上がるようなイメージです。 今回の図形のイメージ 今回の図形 \(D_{0}\) ,  \(D_{1}\) ,  \(D_{2}\) \(\cdots\) のイメージは とい ...

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