月別アーカイブ:2021年10月

2021/10/30

仮想難関大(オリジナル予想問題)【順列記号Pの和】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回はシグマ計算に関する問題です。 よくある問題としては、コンビネーション \({}_n \mathrm{ C }_k\) に関するシグマ計算ですが、 パーミュテーション \({}_n \mathrm{ P }_k\) ...

2021/10/29

四面体の切断と体積【カバリエリの原理】【2018年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 京大が定期的に出題する四面体に関する論証問題です。 幾何・座標・ベクトルという3分野が考えられますが、本問は必要に合わせてどの分野のまな板の上で調理するかを柔軟に対応する力が養えます。 難易度としてはやや難でしょうが、得られるものは大きい問題です。 美しく解く方法もありますが、愚直にやってできないことはありません。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む (1) について 色々考えられますが、ベクトルを導入し ...

2021/10/28

2変数の確率【シンプルな難問】【1998年度 九州芸術工科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 題意はメチャクチャシンプルなのですが、やってみると結構手こずります。 本問は元々誘導があったのですが、今回は方針決定から組み立てる力を磨くことを目的としたいと思い、心を鬼にして誘導をカットしました。 悩んだ挙句に解ききった快感は大きいでしょうし、たとえ途中でギブアップしてしまってもそこまでに頭を沸騰させていればそれは無駄にはなりません。 ぜひ考えて見てほしいと思います。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む ...

2022/1/30

三角形の内角に関する不等式【cosα+cosβ+cosγ≧1】【2005年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 三角形の内角に関する不等式で、シンプルな題意です。 解法も様々考えられ、京大らしい問題だと思います。 試験場では愚直に解くのが現実的ですが、時間無制限で頭を鍛えるという点においては別解を考えるいい題材となるでしょう。 (以下ネタバレ注意)     + クリック(タップ)して続きを読む 方針1:和積公式 目標 \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}+\cos{\gamma}-1 \geq 0\) が目標であるこ ...

2021/10/24

仮想難関大(オリジナル予想問題)【ベクトル~幾何的な見方~】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回はベクトルの問題です。 前半は定番の話題なので、基礎の確認として活用できると思います。 オチの問題については、少し考えるものになっています。 恐らく真正面からぶつかると大変な思いをすることになります。 そこでどのよう ...

2021/10/23

仮想難関大(オリジナル予想問題)【確率~座標平面の点の移動~】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は確率の問題です。 ルールと構造を把握し、急所を的確に把握する力が要求されます。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 終了の仕方 9回目の移動、すなわち \(x\) 軸方向の移動 ...

2021/10/21

仮想難関大(オリジナル予想問題)【2次関数~通過点に関する論証~】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は2次関数に関する問題です。 タカが2次関数となめてかかると火傷するかもしれません。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む (1) について \((2 \ , \ 0)\) ,  ...

2021/10/21

3次方程式の解の絶対値【2004年度 岡山大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) ある一定以上の「確かな力」がないと、色々振り回される問題です。 ただ、いたずらな難問ではなく、戦略的に見通しを立てる力を鍛える題材としてとてもいい問題です。 場当たり的に解いてしまった人は 「何かグチャグチャやってたら解けた」 という人と 「グチャグチャやって手詰まりになっちゃった」 という人で分かれると思います。 つまり、見通しをもたずに場当たり的に解いてしまうと、結論まで辿り着けるかどうかがギャンブル的要素に左右されかねません。 (以下ネ ...

2021/10/20

重心・垂心・外心・内心の位置ベクトル【2016年度 滋賀医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) これ1題で 重心・垂心・外心・内心の位置ベクトル の導出について学べるめちゃくちゃコスパの良い問題です。 三角形の代表的な点の位置ベクトルについての基本的な理解を確認するとともに、その特徴を活かして自力で導出できることを本問の目標としたいと思います。 この数字設定は解き進めていくと、 「めんどくさっ」 と思えてきますが、反面 「これ狙って作ったとしたらすげぇな」 というちょっとした驚きも含まれており、この話題をマスターしている人も確認のために ...

2021/10/19

有名曲線【アルキメデスの螺旋(渦巻線)】【2002年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) アルキメデスの螺旋(渦巻線)と呼ばれる有名曲線を扱った問題です。 アルキメデスの螺旋 \(a\) を \(a \gt 0\) なる定数としたとき、極方程式 \(r=a \theta\) で与えられる曲線をアルキメデスの螺旋(渦巻線)と言います。 本問はアルキメデスの螺旋の弧長について計算させる問題です。 結局差が付くのは最後の積分計算でしょう。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む (1) について 良くも ...

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