月別アーカイブ:2022年01月

2022/1/30

三角形の内角のtanの和【1966年度 金沢大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 非常にシンプルな問題です。 切れ味鋭く捌くこともできますし、腕力で押し切ることもできます。 いずれの路線にせよ、確かな力が必要です。 類題としては などがあります。 原題では誘導設問がついていましたが、それだと面白くなくなってしまうのと、誘導がなくても現実的に処理可能であるということ、試験問題ではなく教材としての提供であることを考え心を鬼にして誘導をカットしました。 ぜひ構想を含めて手を動かしながら考えてみてほしいと思います。 (以下ネタバレ ...

2022/1/27

仮想難関大(オリジナル予想問題)【整数~累乗数の商と余り~】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は整数と数列に関する問題です。 累乗数の商について考察します。 決して簡単ではありませんが、特別なこともしません。 少しばかり経験による知識的側面は必要としますが、難関大受験生にしてみれば常識にしておくべき知識です。 ...

2022/1/25

三角形と長方形の面積に関する論証【1994年度 名古屋大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 内包関係にある三角形と長方形の面積に関する論証問題で、ある意味「そりゃそうだろ」的な主張です。 ただ、こういった論証問題の場合どこまで掘り下げて示せばよいのかが難しいものです。 加えて、配置が自由であるため 「あんたが描いた絵だったらいいかもしれないけど、こういうケースはどうすんの?」 的な突っ込みに耐えられるかど ...

2022/1/22

素数に関する不定方程式【2019年度 同志社大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 不定方程式(文字の数に対して式の数が少ない方程式)の中でも少々対応力が問われる問題です。 誘導の活用力も問われます。 試験場のつもりで取り組んでみると、いい模擬訓練になるでしょう。 恐らく出題者側はある程度のレールを敷き、誘導を付けて無理のない範囲で仕立てようとしたのでしょうが、多分出題者側が期待しているように受験生は中々動いてくれないのが現状だと思います。 用いている基本事項は全て整数問題においては常套手段の一つなのですが、「100m先から ...

2022/1/20

関数方程式と微分の定義【1994年度 芝浦工業大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 関数方程式の問題で、最終的には微分方程式に帰着するタイプです。 場数を踏むことで、このトピックスに対する勘所を掴んでいきましょう。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む (1) について 与えられた手持ちの武器は \(f(x+y)+f(x)f(y)=f(x)+f(y)\) という式しかなく、具体的に \(f(x)\) が与えられているというわけではありません。 この等式から \(f(0)\) に辿り着くために、 特殊な値 ...

2022/1/19

格子点同士を結ぶ2線分のなす角度【2004年度 一橋大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 格子点同士を結ぶ2つの線分のなす角について考察する問題です。 例題は実戦要素が強く、 2直線のなす角の扱い 整数問題の捌き方 が問われてきます。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む 座標平面上での角度の処理 \(\angle{\mathrm{BAC}}\) という座標平面上で角度を扱おうと思うと 座標における角度の扱い ベクトルの内積を用いて \(\cos{ \ }\) として処理する 傾きと \(\tan{ \ }\ ...

2022/1/14

素数が無限に存在することの証明【1973年度 大阪歯科大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 素数が無限に存在することは紀元前から分かっていたことです。 ユークリッドの有名な数学書である原論での証明が有名で、歴史的内容を含む問題であり、思考力を試すというよりは、教養的側面の強い話題です。 現在、様々な証明法が知れ渡っていますが、ここではユークリッドの考えを基にした背理法による証明と、2006年に発表されたフィリップ・サイダック氏による証明を紹介します。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む 背理法による証明 以下 ...

2022/1/11

組分け問題【区別のあるなし問題】【1999年度 立教大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題3【腕試し用類題】はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 場合の数や確率の分野に対する苦手意識をもつ人を量産するタイプの問題です。 何を区別して何を区別しないか について例題から徐々にステップアップしていき、最終的には東大後期の問題を倒してみたいと思います。 (以下ネタバレ注意) &nbs ...

2022/1/9

単位分数の和【エジプト式分数】【2006年度 富山大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 自然数の逆数からなる有理数を「単位分数」といい、異なる単位分数の和として表現した分数を「エジプト(式)分数」と言います。 本問は、 2項からなるエジプト分数の最大値が \(\displaystyle \frac{5}{6}\) 3項からなるエジプト分数の最大値が\(\displaystyle \frac{41}{42}\) ということを証明せよという問題です。 表向きは入試標準的な整数問題ですが、古くから様々なことが研究されており、奥が深い話 ...

2022/1/8

微分法の方程式・不等式への応用【1994年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 見た目は、どこにでもありそうな微分の運用問題のように思えます。 ただ、型通りの問題で終わらないよう、言葉にすることが難しい「センス」を要求してくるあたりが流石東大です。 本問は1994年度東京大学理系第1問です。 「これはテンプレ問題だ。いける」 と試験開始直後に意気揚々と取り組み始め、計算量の多さに血の気が引いていく当時の受験生の様子が目に浮かびます。 第1問という位置取りも相まって、平常心を失いかねない問題と言えましょう。 (以下ネタバレ ...

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