月別アーカイブ:2021年09月

2021/9/30

3整数に関する不定方程式【難問】【1990年度 早稲田大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) シンプルな設定でルールはとっかかりやすいのですが、いざやってみるとどこから手を付けたらよいのか途方に暮れる難問です。 実際にこの年の受験生のほとんどが0点だったといういわくつきの問題です。 合否に影響のある問題でないことは確かなのですが、30年経った今でも勉強の糧として使える良問だとも思います。 最初に整数問題の有力方針を確認しておきます。 + クリック(タップ)して基礎を確認する 積の形から約数の拾い上げ 例題:\(x ,  y\) は自然 ...

2021/9/29

通過領域【式で追うか目で追うか】【2004年度 青山学院大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 2つの動点が関わる軌跡や通過領域について捉える問題です。 難易度についてははっきりと差が付くと思います。 何が難しいの?と思う人もいるでしょうし、ドツボに嵌まって身動きが取れなくなる人もいると思います。 本問を選定した理由を述べます。 通過領域というのは本来、目で追っていくことが難しいから式に教えてもらおうという態度でいくことが多いです。 そのあたりのよくある通過領域については で、取り扱っています。 最初にいってしまうと、この問題は式だけで ...

2022/1/11

sinの和とcosの積【和積公式の運用】【2008年度 首都大学東京】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 「おっ?」と思うような見た目と構成をしていますが、中身は三角関数の諸公式の運用を試す基本的な問題です。 特に (2) は割と有名な等式です。 一般論に拡張できるような雰囲気を醸し出しておきながら、最後に裏切られてしまうのは何とも言えません。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む (1) について \(x+y=\pi\) という従属2変数に関する扱いであり、 基本 1文字消去 を狙っていくのが素直です。 (2 ...

2021/9/27

区分求積法と誤差についての評価【2006年度 芝浦工業大ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 区分求積法に関わる極限を考える問題です。 (1) ,  (2) そのものは教科書の練習問題レベルなのですが、(3) が中々の曲者です。 一見モブキャラに見える (1) ,  (2) を活用するわけなのですが、その活用の仕方が問題です。 誘導設問の結果を利用するのではなく、「なぜこれを考えさせるのか」という設問の意味にまで目を光らせていないと中々とっかかりが見えないと思います。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続き ...

2021/9/26

不等式証明と大小比較【2009年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 不等式証明と、それを利用する数値の大小比較の問題です。 (1) の不等式証明から結構ハードです。 (2) も (1) の単純な運用では中々うまくいきません。 せめて (1) を利用して (2) だけでもチャチャっと片付けようとした人からすれば「よもやよもや」でしょう。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む (1) について ひとまず、\(\log{ \ }\) をとりたくなるでしょう。 そうなると \((1 ...

2021/9/25

トレミーの定理【様々な証明】【2011年度 熊本大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) トレミーの定理の証明を問題形式で考えてみます。 本問の (2) の内容がトレミーの定理です。 トレミーの定理は「裏技」的な位置づけで紹介されることが多いです。 今回は「トレミーの定理を使えば早い」といった類の問題ではなく、トレミーの定理そのものを導出することを趣旨とします。 証明はできないけど裏技として使用していた人は、これを機に今後気持ちよく使えるようにしてみてください。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを ...

2021/9/23

tanとフィボナッチ数列【マチンの公式との関連】【2013年度 京都府立医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) tanとフィボナッチ数列が面白く絡んでいる問題を見てみます。 tanとはタンジェントです。炭治郎ではありません。 ただ、全集中で解いてみてください。 筋が悪いと過呼吸になります。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む (1) について 目に優しく \(b_{n}=a_{n}(a_{n+2}+a_{n+1})-a_{n+1}a_{n+2}\) とおき、 \(b_{n}=-(-1)^{n}\) であることを目指します。 つま ...

2021/9/23

増減表の継ぎはぎ【2007年度 東京理科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) たかが微分、されど微分。 難関大受験生にとっては方針面で困ることはないでしょうが、試験場だと頭に血がのぼるタイプの問題です。 「いかに解決するか」というよりも、「いかに落ち着いて整理するか」といった工夫面での勝負となるでしょう。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む (1) について 和積公式の証明ですが、加法定理を用いてというのは、難関大受験生にとっては余計なお世話でしょう。 「普段から作っとるわい」 という感想がもて ...

2022/9/26

マチンの公式とその周辺の等式【1987年度 埼玉大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) マチンの公式とその周辺の等式について触れることができる問題を紹介します。 表向きは \(\tan{ \ }\) が絡む整数問題という顔をしています。 背景的なものを抜きにした整数問題として見てもいい訓練となる問題であり、整数問題の実戦的な問題として丁度よいレベルの良問でしょう。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 図示してみると というように、ひとまず角度 \(\alpha\) ,  \(\beta\) ...

2021/9/20

n桁以下の自然数を並べてできる数【1997年度 慶応義塾大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) ルール自体はシンプルなルールな問題です。 難易度自体も標準的な難易度だと思いますが、 急所を抽出する 抽出した急所を処理する のどちらの力が欠けていても完答は遠のくでしょう。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む (1) について 具体的な場合の検証的設問です。 イメージとしては というイメージを持ち、並んでいる数字の個数が桁数であることを考えると \(1\cdot 9+2 \cdot 90+3 \cdot 900\) ...

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