場合の数・確率系

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 2021年度入試の中でも注目度が一際高かった問題です。 問題文の意味自体は下手すると小学生でも分かりますが、実際に試験場で見ると面食らう ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 順列に関する問題で、数が５個しかないので全部は大変にしても部分的にゴリゴリ押し通していけばできなくはありません。 最後にモノを言うのは基 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   非常にシンプルな問題で、どことなく「何かうまい方法でできそう」みたいな匂いを感じます。 大学入試と言うよりはむしろパズル的 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   この手の問題は多くの問題集などにも収録されており、一度は経験したことのある人も多いでしょう。 また、正六角形や正八角形など ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 確率と極限の融合問題ですが、実質的にはまずは確率をきちんと計算できるかが要求されます。 正六角形の頂点に印をうっていき、直角三角形ができ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 円周上の正 \(4n\) 角形の頂点を用いて三角形を作るという、素材としてはよくある問題です。 ただ、素材は定番でも中身はマニュアル的態 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 正多面体の色の塗り分け問題です。 よくあるのは立方体の色の塗り分けですが、本問は少しそれを発展させて正八面体の塗り分けを考えてみます。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   円順列を題材として、最後は極限の計算技能まで見る欲張りな問題です。（実践演習としては誉め言葉です。） 円順列の基本は 円順 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 単元学習や定期考査段階では上級テーマに位置づけられる問題です。 ただ、入試の実戦段階では定番のテーマであり、対応できてほしいタイプの話題 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 決して簡単ではないですが、確率の原則を確認する上で非常にいい問題です。 まず、同様に確からしいということについてです。 同様に確からしい ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 問題をよくよく観察してみると、トランプのポーカーをモデルにしているということが分かります。 同じ色が揃うというのは、ポーカーでいうと「フ ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） サイコロを \(n\) 回投げ、出た目の最大公約数を考える問題です。 1991年度筑波大学、2007年度大阪大学、2016年度九州大学な ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） サイコロを投げて出た目の数の約数の番号の付いたカードを裏返していくという問題です。 実は、この設定で昔作問したことがありました。 当時は ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 条件付き確率についての基本演習問題です。 条件付き確率の基本的なイメージ ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 確率の最大を求めるという問題を扱います。 恐らく単元学習の段階では解法のクセの強さと、考え方に慣れていないため、難問という位置づけだった ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 各面が等確率で出ないサイコロを考えるという設定で、この設定にバリバリ慣れ親しんでいますという人は多くはないでしょう。 昔名古屋大学で直方 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   難関大学では、有名なゲームをネタにしたような出題が時折出題されます。 本問は双六をモデル化した問題です。 答えを出す難しさ ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 巴戦という形式の勝者の決め方を題材にした問題です。 大相撲の千秋楽で同じ勝率の力士が３人いた場合に用いられます。 有名ネタであり、類題も ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 題意はメチャクチャシンプルなのですが、やってみると結構手こずります。 本問は元々誘導があったのですが、今回は方針決定から組み立てる力を磨 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 問題をよく見てみると、「ババ抜き」をモデルにした問題だと分かると思います。 ２人でやるババ抜きはあまり面白くありませんが、数式的には、京 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 自然数を和として分割する方法について考える問題です。 シンプルでキレイな題意は、アレンジしようにもそれ以上手を加える余地があまりなく、そ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   難関大頻出テーマである「確率漸化式」をテーマとした問題です。 難関大において、確率漸化式の問題は基本的なものから、凝ったも ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   じゃんけんを扱った問題です。 今回のゲームがもつ構造を私は 「ドロップアウト構造」 と呼んでいます。 今回だと３人からスタ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） シンプルなルールで題意も把握しやすいですが、やってみると「うるさい」問題です。 MathClinic を活用して勉強していただいている人 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   \(n\) 角地図という独特な言い回しが目につく問題です。   ４色定理 境界線で囲まれるいくつかの領域からなる ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   確率漸化式の標準問題の多くは、基本的な漸化式の処理力があれば、どちらかというと得点源になる分野です。 本問の場合、機械的な ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） サイコロの目によって決まっていく漸化式から得られる値がある範囲内に収まっている確率を求める問題です。 いかにも何かありそうな設定ですが、 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(\displaystyle \frac{1}{2}\) からスタートし、２種類の関数を用いて次々と値を出して数列を作っていくという操 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ポリアの壺と呼ばれる有名問題です。 経験がないと、右往左往することになると思います。 結果自体は分かりやすく、インパクトがあるものですか ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 壺から壺へ球を移動させていき、最後の壺から白球が取り出される確率を考えます。 人によっては直感で分かってしまう人もいるかもしれません。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   破産の確率と呼ばれるタイプの問題で、初見で解ききることは極めて困難です。 (1)、(2) は回数制限があるため、具体的に状 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 完全順列、攪乱順列、モンモール数などと呼ばれる話題の問題で、1994年度慶応大、2004年度東工大など類題も多く見られます。 本問のよう ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 玉を取る、カードを取る、サイコロを投げる、といったいかにも確率の題材となる具体的試行ではなく、ある変数が整数 \(n\) という値をとる ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   復元抽出（元に戻して取り出す）について扱う問題です。 今回は箱から番号付きのカードを取り出すという設定ですが、サイコロを振 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） とてもシンプルな問題ですが、いざ考えてみると難しく感じるという、いかにも京大らしい問題です。 愚直に押し切る方法と、見方を変えればあっさ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     昔のバレーボールなどで採用されていた「サーブ権」をネタにした問題です。 今のバレーボールはラリーポイント制で ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   原点からスタートし、ある確率に従って進む方向が決まるという、よくある設定の問題です。 本問は2017年度の東大の問題ですが ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 頂点 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   ランダムウォークという種類の問題で、本問は言ってみたら \(x=2\) というカーペットの上を通過する確率です。 結局「具 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     1990年度の東京大学の問題で、この年は東大の歴代前期試験の中でも凶悪な難易度を誇った年として有名です。 こ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   リセットがあるというのが特徴のゲームについて考えます。 ブロックではなく、座布団であれば、本問は笑点です。   ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   本問は確率の要素はあまりなく、\(P (a,b,c)\) を立式すること自体そんなに難しくありません。 問われているのは、 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   番号付きカードを取り出したり、サイコロを投げたりして番号の和や積を考える問題は沢山あります。 本問は典型的なテーマをベース ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） いわゆるランダムウォーク（酔歩）と呼ばれる類の問題です。 様々なバリエーションがありますが、本問は正三角形上の辺を通って下段に降りていく ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   (1),(2)までは典型的な教科書レベルの問題です。 頭を使うのは(3),(4)からで、５ｍ以上の直進があるような最短距離 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 定番の経路問題をベースとして、プラスアルファの思考要素が入った問題です。 (1) は落としたくないレベルですが、(2) は難問です。 東 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） (1) ,  (2) について 最短経路の問題として (1) ,  (2)  についてはきっちりと確保したいレベルの基本問題です。 (3 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 確率 ...