例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
サイコロを投げて出た目の数の約数の番号の付いたカードを裏返していくという問題です。
実は、この設定で昔作問したことがありました。
当時は自分の中で新作問題のつもりで模試用に作問したのですが、後に奈良女子大で出題されていた本問を発見し、
そりゃこのぐらいシンプルな設定であれば被るわな
と思ったのを思い出します。
その問題は最後に類題としておいておきますので、よかったらどうぞ。
なお、以下の解説では赤面の状態をＲ、白面の状態をＷと表し、左から番号順だと思ってください。
- 例：ＲＲＷＲＷＷの場合、１が赤、２が赤、３が白、４が赤、５が白、６が白
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む １回の操作後のことなので、腕力でも片が付きます。 要するに、２のカードを裏返すような目である「２，４，６」のいずれかが出る確率であり \(\displaystyle \frac{1}{2}\) ということになります。 一見、鬱陶しいように感じますが、ある程度実験してみると という事実に気が付くと思います。 そうなると、３回（奇数回）操作をしているわけですから、１のカードは確実に赤面です。 であれば、あと１枚赤色のカードがあればよいということになり、大分気持ちが楽になります。 これについては という分類で整理していけばよいでしょう。 ここでは２が赤面となる場合を考えてみます。 ３回の操作で１と２だけが赤面となるのは といういずれかの出方です。（順不同） \(k\) の決め方が \(5\) 通りあることに注意すると \(1+\displaystyle \frac{3!}{2!} \cdot 5=16【通り】\) ということになります。 ３回の操作で も同様です。 ４が裏返るためには４の目そのものが出る必要があります。 したがって４が赤ということは ということになります。 ４が３回出るとすると、同時に２のカードも３回裏返されてしまい、２まで赤となってしまいます。 なので、 ４は１回だけ出る ということになります。 この時点で で、２は赤ですから、残り２回の操作で２をもう１回だけ裏返す必要があります。 つまり、偶数を１回だけ出すことになるわけです。 ４はもう使えませんから、２か６ということになります。 ６が出るとすると というように、今度は２が白となりますが、新たに３，６が赤となってしまいます。 残り１回で３，６のみを元に戻すことはできません。 したがって、４の目が１回だけ出た という場面からは、２の目を出さざるを得ません。 そうなると状況は ということになり、残り１回の目で１が出れば ということになり、１と４のカードのみが赤面という状況が実現します。 まとめると、３回の操作で \(1 \ , \ 2 \ , \ 4\) の目が順不同で出ればよいことになります。 ６のカードも６そのものが出ないと裏返りません。 なので、３回のうち１回は６が出ます。 この時点で です。 ここから３を白に戻すためには３か６が出る必要がありますが、６の目が出ると最初の状態に戻ってしまい詰んでしまいます。 なので、３が出る必要があり、 ということになります。 残り１回で２のカードのみを白面に戻すためには、２の目が出るしかなく となり、１と６のカードのみが赤面という状況が実現します。 まとめると、３回の操作で \(2 \ , \ 3 \ , \ 6\) の目が順不同で出ればよいことになります。 全てを赤にするためには少なくとも４，５，６のカードを１回は裏返さないといけません。 先述した通り、４，５，６のカードは４，５，６そのものの目が出ないと裏返りませんから、最低でもこの３回の操作は必要です。 この時点で です。 ここから、２のカードのみをひっくり返すために ２の目が出る という状況を考えると となり、あとは１のカードをひっくり返すために １の目が出る とすると というように、全て赤面の状況が実現します。 つまり、 \(1 \ , \ 2 \ , \ 4 \ , \ 5 \ , \ 6\) の目が順不同で出れば全て赤の状況が実現します。 つまり、５回の操作では全て赤にできることが分かりました。 上の実験で、５回は最善を尽くしてモデルケースを考えましたから、４回以下の操作では実現できそうにはありません。 もちろん、 「お前が最善を尽くしたつもりなだけであって、もしかしたら実現するかもしれないじゃないか」 という突っ込みに耐えるためにきちんと示します。 先述した通り ので、１が赤面となるには奇数回の操作が必要になります。 ４回以下で全て赤を実現するということになると、３回で実現させる必要があるわけです。 ただ、この３回は として使ってしまいます。 この時点で全て赤ではないですから、 詰みました、４回以下では無理です。 という運びになります。 振り返ってみると小難しい数式はほとんど出てきません。 構造や事象の分析力に重きが置かれている問題だと言えましょう。 本当は仮想難関大シリーズにおきたかったですが、設定がモロ被りだったので、類題として置いておきます。 ただ、オチの味付けはまた違う味です。(1) について
(2) について
残る赤のカードが２，３，５のとき
残る赤のカードが４のとき
残る赤のカードが６のとき
(3) について
（※さすがに１回で実現させるのは無理というのは自明とさせてください）
類題について
類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
