2023年度 名古屋大学 理系 第4問【第1種スターリング数】
問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 第1種スターリング数を扱った問題ですが、多くの受験生にとって初見だと思います。 一般に、数列 \(\{a_{n}\}\) に対して \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots\) を数列 \(\{a_{n}\}\) の母関数と言います。 例えば、 \({}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1 x+ ...
2023年度 北海道大学理系第4問【さいころの目で定まる値に関する確率】
問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) さいころの目によって定まる値のとり得る値に関する考察問題で、見かけで怯んでしまう受験生も多そうです。 文系との一部共通問題で、文系では \(K_{2}=5\) となる確率を求めよ。 というさらなる実験的設問がありましたが、理系ではカットされています。 (1) の \(K_{3}=5\) という場合でもよく見えなかった場合、自分で \(K_{2}=5\) という場合も考えてみるのも一つの手で、とにかく実際に手を動かす中で要領を掴むことが大切です ...
2023年度 九州大学理系第4問【関数方程式と微分についての論証】
問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) リード文を読み、下線部に関連する事柄を証明したり、補足させたりするといった形式であり、従来の「問題解決型」の問いというより、「基本深掘り型」の問いです。 昨年 (2022年) にこの形式が出題されて、2年連続でこの形式の問題が出題されました。 今年は関数方程式と、微分に関する論証問題です。 昨年の講評で 今後こういった問題が入ってきて、それが九州大の数学の目玉になるのかどうかというのは、来年以降注目したいところでしょう。 と述べましたが、2年 ...
2023年度 九州大学理系第3問【任意の格子点が斜交座標においても格子点となる条件】
問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) ベクトルに関する論証問題ですが、1次変換に伴う斜交座標への変換という話題を扱っており、現行課程に行列がないため受験生はイメージが掴みにくいでしょう。 成分を用いて噛み砕いていくことで、数式的に処理していけますので、特別な知識は必要ありません。 ただ、問題の条件を適切に咀嚼する顎の力が必要です。 また、最後の (3) は全称命題としての独特の捌き方をします。 「任意の(全ての)」や「存在する」といった言葉をきちんと汲み取る力も求められ、文字も多 ...
2023年度 京都大学理系第6問【チェビシェフの多項式】
問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(\mathrm{cos}\) の \(n\) 倍角の式を用いた論証問題です。 チェビシェフの多項式と呼ばれるネタがありますが、それにまつわる類題経験がないと厳しいでしょう。 チェビシェフの多項式に関するシリーズはコチラ 本問はチェビシェフの多項式がもつ特徴的な性質を自分で抽出して利用することが求められます。 性質そのものはもちろん、その性質の導出過程においても経験がモノを言いますので、知識的な側面が強い問題だと思います。 解答はコチラ
2023年度 東京大学理系第5問【整式が平方因子をもつ条件】
問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 整式の割り算と余りに関する論証問題です。 (1) は東大受験生であれば確保したい内容ですが、どちらかというと当たり前的な内容の証明なのでどこまで丁寧さを求めるか迷うところですが、出来る限り丁寧に記述しておきましょう。 (2) は除法の原理 \((割られる式)=(割る式)\cdot (商)+(余り)\) を用いて、与えられた条件を立式していきます。 \({h(x)}^{7}=f(x)Q_{1}(x)+h_{1}(x)\) \({h_{1}(x) ...
周期関数【1999年度 山梨大学ほか】
例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 周期関数に関する定義と、それにまつわる基本事項、および周期関数か否かの判断について考える問題です。 例題では誘導も兼ねた基本事項の確認がありますが、類題では周期関数かどうかの判断に焦点が当てられており、基本的にはノーヒントでの判断を要求されます。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む 例題について 例題はこちら(再掲)(画像をクリックするとPD ...
仮想難関大(オリジナル予想問題)【整数~等差数列と素数~】
問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は整数の問題です。 等差数列の中で連続する素数の個数を考える問題です。 これについては グリーン・タオの定理 任意の正の整数 \(n\) に対して、\(n\) 個の項からなる素数等差数列が存在する。 というテレンス・ ...
正八面体の辺ベクトルについての論証【2001年度 京都大学】
問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 正八面体の辺ベクトルについての論証問題であり、一見するとどこから手を付けていいのかが分かりにくい問題でしょう。 題意の主張が当たり前じゃんと思える人もいるでしょうが、どのように記述でまとめるかで悩むかもしれません。 解答自体は短く終わりますが、手も足も出ない人がいてもおかしくはないと思います。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む 内積の符号とベクトルのなす角 一般に2つのベクトル \(\vec{a}\) ...
微分積分に関する正誤判定【1988年度 大阪教育大学】
問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 微分積分に関する正誤判定の問題です。 「それらしい」主張に惑わされないこと。 勝手なMy Rule をふりかざさないこと。 ということに対する教訓にしてほしい問題です。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む (1) について \(f'(x)=g'(x)\) とは \(\{f(x)-g(x)\}'=0\) ということです。 これより \(C\) を定数として \(f(x)-g(x)=C\) ということが言えると思います。 ...