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第１種スターリング数を扱った問題ですが、多くの受験生にとって初見だと思います。
一般に、数列 \(\{a_{n}\}\) に対して
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots\)
を数列 \(\{a_{n}\}\) の母関数と言います。
例えば、
\({}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1 x+{}_n \mathrm{ C }_2 x^{2}+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_nx^{n}\)
すなわち
\((1+x)^{n}\)
は
\({}_n \mathrm{ C }_0\) , \({}_n \mathrm{ C }_1\) , \({}_n \mathrm{ C }_2\) , \(\cdots\) , \({}_n \mathrm{ C }_n\)
という数列の母関数です。
本問は、
\(P_{n}(x)=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)\)
の \(x^{m}\) の係数 \({}_n \mathrm{ B }_m\) について考えるという問題です。
ある意味で、母関数が \(x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)\) となるような数列
\({}_n \mathrm{ B }_1\) , \({}_n \mathrm{ B }_2\) , \({}_n \mathrm{ B }_3\) , \(\cdots\) , \({}_n \mathrm{ B }_n\)
について考えるということになります。
先ほども述べたように多くの人にとっては初見だと思いますが、二項定理や二項係数に関する演習経験があれば、ここから攻め落とそうという着眼点が見えやすくはなります。
逆にこのあたりの演習が疎かになってしまっていると、下手すると (1) から手が止まってしまう可能性もあるでしょう。