恒等式

2023/4/11

2023年度 名古屋大学 理系 第4問【第1種スターリング数】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 第1種スターリング数を扱った問題ですが、多くの受験生にとって初見だと思います。 一般に、数列 \(\{a_{n}\}\) に対して \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots\) を数列 \(\{a_{n}\}\) の母関数と言います。 例えば、 \({}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1 x+ ...

2023/3/2

2023年度 京都大学理系第1問【定積分の計算・高次式の余り】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 京大が定期的に取り入れる小問集合形式の問いです。 いずれも完答は現実的な範疇ですので、ここをキッチリと取って勢いにのっていきたいところです。 問1は基本的な定積分の計算問題で、部分積分一発で沈みます。 問2は年度に絡めた高次式 \(x^{2023}-1\) を \(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\) で割ったときの、余りについて考える問題です。 \(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\) という形を見て \(x^{5}-1 ...

2023/2/13

高次式と余り【2020年度 広島工業大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題3はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 高次の多項式に関する余りを求める問題で、頻出のトピックスです。 例題からスタートし、徐々に難易度が上がっていきます。 最後の類題3については、難易度は高めです。 この類の問題に一度でも経験があると舐める人もいそうですが、逆にそういう人の足を掬うよう ...

2022/3/26

2022年度 九州大学 理系第2問【3次式で割った余りと極限】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 訊き方をもう少しマイルドにすれば手が付く受験生も多少増えるとは思いますが、敷居の高い訊き方をしているので、(1) から怯んでしまった受験生も多かったと思います。 (1) は要するに \(x^{n}\) をうまく式変形して \((x-\alpha)(x-\beta)^{2}Q(x)+A(x-\alpha)(x-\beta)+B(x-\alpha)+C\) という形にしてみてね。 という問いかけなのですが、「存在することを示せ」と言われ、何をすれ ...

2022/3/14

2022年度 名古屋大学 理系第1問【整式の割り算】【3次方程式の実数解の個数】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 整式の割り算をベースにした問題で、最後は3次方程式の実数解の個数に帰着します。 2,3年ほど前の凶悪なセットをガンガン出題していた頃からすると拍子抜けしてしまうレベルで、実際に割り算をし、余りを導出して手なりに状況を翻訳していけば、特別なことをせずとも解決できる問題です。 あまりに捻りがないため、逆に勘繰ってしまいますが、凝ったことをやろうとして時間をかけるよりも愚直に進めた方が得策です。 (1) が (2) のどこかで効いてくるのかと身構え ...

2022/2/17

様々な関数方程式【1960年度 神戸大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 数学では珍しい一問一答的な問題です。 ただ、その中でも 特徴的な形を見逃さない 特徴を抽出する という力を養ううえでいい訓練になると思います。 特に最後の \(f(2x)=f(x)\) を満たす \(f(x)\) については、人によっては苦戦するでしょう。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む (1) について \(f(-x)=-f(x)\) は奇関数がもつ特徴的な性質です。 (というより、この特徴をもつ関 ...

2022/1/7

2乗した関数と合成関数の恒等式【関数方程式】【1976年度 信州大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 2乗した関数と、合成関数が恒等式となるような整式 \(f(x)\) を求めるという問題で、 この関係式を満たす \(f(x)\) なぁ~んだ? という「関数方程式」です。 愚直な方法で処理することも可能ですし、計算をほとんどすることなく捌くこともできます。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 方針1:恒等式の処理 \(f(x)\) が整式であるということが分かっているならば、まずは 何次式なのか というこ ...

2021/12/25

円の包絡線【2002年度 神戸大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 円に沿って動く接線の通過領域について考えるという問題です。 \(t\) の値によらず円に接しているという、強力な事実が先に与えられているため、(2) の通過領域については (1) が求まればなんとかなりそうです。 範囲付きの処理となるため、そのあたりがどこまで処理量に響いてくるかが問題かなというのが第一印象でしょう。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む (1) について 様々な解法が考えられます。 路線1 ...

2021/12/17

2本の対称軸をもつグラフ【1999年度 京都府立医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 対称軸を2本もつグラフについて考察させる問題です。 このような論証に慣れていない受験生も多いことでしょう。 感覚的には「そりゃそうだよな」と思える部分もあります。 主張が割と本格的なものであり、難問の匂いが漂います。 結果論から申し上げれば、解答を聞くと特別なことは特に何もしていないと感じると思います。 人によっては「難問?」と思う人がいても不思議ではありません。 ただ、寂しいかな現実的にはアタフタして終わってしまう人の方が多数でしょう。 差 ...

2021/11/19

仮想難関大(オリジナル予想問題)【微分法】【2曲線が接する】【共通接線】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は微分法に関する接線の問題です。 接線についての構図を把握し、その構図の違いによるそれぞれの翻訳の仕方を学習します。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む (1) について 接線の ...

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