問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
京大が定期的に取り入れる小問集合形式の問いです。
いずれも完答は現実的な範疇ですので、ここをキッチリと取って勢いにのっていきたいところです。
問１は基本的な定積分の計算問題で、部分積分一発で沈みます。
問２は年度に絡めた高次式 \(x^{2023}-1\) を \(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\) で割ったときの、余りについて考える問題です。
\(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\) という形を見て
\(x^{5}-1=(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)\)
という因数分解公式に現れる部分をインスピレーションできると
\(x^{5} \equiv 1 \pmod{f(x)}\)
ということに辿り着きます。
なので ,
\(x^{2023}-1 \equiv x^{3}-1 \pmod {f(x)}\)
となり、即解決します。
また、
\(x^{2023}-1=(x-1)(x^{2022}+x^{2021}+x^{2020}+\cdots+x+1)\)
なのですが、
\(x^{2022}+x^{2021}+x^{2020}+\cdots+x+1 = x^{2018}(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)+x^{2013}(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)+\cdots\)
というように見て、どんどん \(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\) で括っていくという方針もあります。