積分法

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） パラメータ表示で与えられた曲線についての面積を考える問題です。 やること自体は一本道であるため、方針面ではそこまで迷うことはないのですが、途中で出てくる数値がお世辞にもキレイではないため、不愉快な計算に襲われます。 細かな部分まで詰めようとすると結構神経を使うため、気疲れします。 グラフの概形的に面積をどう捌くかが問題で、面積の立式さえできれば積分計算自体は標準的なものですが、筋の悪い方向にいってしまい収拾がつかなくなってしまう受験生もそれな ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 線分の通過領域と、その面積を求める問題です。 線分の通過領域と聞いて身構えますが、今回の線分は 長さと傾きが一定の線分 であり、目で追っていくことができます。 その際 (1) がその補助となる部分です。 方針面では困ることはないでしょう。 ただ、細々とした算数計算や、面積を求めるのに必要な部分をチョコチョコ計算していると時間がかかります。 面積計算も、まともにぶつかると少々骨が折れますので、図形的考察をはさみながら少しでも労力を減らす工夫を試 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 線分の通過領域による立体の体積を求める問題です。 点 \(\mathrm{P}\) は１次元的な動きですが、点 \(\mathrm{Q}\) は２次元的な動きをします。 同時に動かすと中々想像がつきませんが、ひとまず 点 \(\mathrm{P}\) を固定して \(\mathrm{Q}\) だけ動かす といったように、一つずつ動かすと分かりやすいでしょう。 独立２変数の扱いに通じる部分がありますね。 この態度で考えを進めると、結局は \(\ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 京大が定期的に取り入れる小問集合形式の問いです。 いずれも完答は現実的な範疇ですので、ここをキッチリと取って勢いにのっていきたいところです。 問１は基本的な定積分の計算問題で、部分積分一発で沈みます。 問２は年度に絡めた高次式 \(x^{2023}-1\) を \(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\) で割ったときの、余りについて考える問題です。 \(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\) という形を見て \(x^{5}-1 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 定積分の不等式評価と、区分求積法からのはさみうちの原理による極限の導出を考える問題です。 オープニングとしては中々けたたましいファンファーレに感じた受験生も多いでしょう。 \(B_{n}\) を具体的に計算できないこと、及び (1) の不等式評価を誘導と見れば (1) の不等式評価を用いてはさみうちの原理で仕留める というオチを睨むことは難しくありません。 ただ、肝心かなめの (1) の評価が簡単ではなく、第１問という位置取り的にも平常心を乱 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(t\) に依存する３次方程式の解 \(\alpha\) ,  \(\beta\) ,  \(\gamma\) に関する定積分の値を考える問題です。 完答できるかどうかの差はつきやすい問題で、解決する人はあっという間に解決してしまうと思います。 「簡単な難問」、「難しい易問」という言葉がありますが、どちらかというと個人的には難しい易問だと感じました。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について \(x^{3 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） アステロイドに光を当てたときにできる影について考える問題です。 立式さえできれば、曲線の長さという基本的な計算になりますので、この影が表す図形をどのように立式するかがポイントになってきます。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む イメージ図 ひとまずは問題の図形 \(D\) ,  \(D'\) のイメージを掴みたいと思います。 図形 \(D\) の境界線が表す曲線を \(C\) ,  図形 \(D'\) の境界線が表す曲 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 放物線と２直線で囲まれる部分の面積についての立式がメインテーマです。 構図としてはシンプルな構図なのですが、計算面で心がへし折られる受験生がかなり多いと思います。 これを試験場でバシッと計算を合わせるのは至難の業と言ってよいでしょう。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 領域の図示 ひとまず題意の領域を図示したいと思います。 放物線 \(y=x^{2}\) の上側というのはいいでしょう。 \((y-kx- ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） トロコイドという有名曲線を扱った問題です。 トロコイドとは 円が滑らずに転がったときの円の内部または外部の定点の軌跡 です。 円周上の定点の軌跡はサイクロイドと呼ばれる有名曲線です。 基本的にはサイクロイドに準ずる態度でトロコイドのパラメータ表示を得ていきます。 ひとまずサイクロイドに関してまだ足元がグラグラということであれば でサイクロイドについての問題を扱っています。 （以下 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は微積分の問題です。 \(y=xe^{nx}\) という関数の面白い性質を問いにしました。 基本的な微積分の練習問題としてご活用ください。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む ( ...