月別アーカイブ:2022年12月

2022/12/28

放物線と2直線で囲まれる部分の面積【1999年度 大阪府立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 放物線と2直線で囲まれる部分の面積についての立式がメインテーマです。 構図としてはシンプルな構図なのですが、計算面で心がへし折られる受験生がかなり多いと思います。 これを試験場でバシッと計算を合わせるのは至難の業と言ってよいでしょう。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 領域の図示 ひとまず題意の領域を図示したいと思います。 放物線 \(y=x^{2}\) の上側というのはいいでしょう。 \((y-kx- ...

2024/1/24

仮想難関大(オリジナル予想問題)【整数~階乗と平方数~】【ブロカールの問題】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は整数の問題です。 ブロカールの問題と言われる次の問題があります。 ブロカールの問題 \(n\) を正の整数として、 \(a_{n}=n!+1\) とするとき、\(a_{n}\) が平方数となる \(n\) を全て求 ...

2022/12/19

条件付き確率【原因の確率】【1976年度 早稲田大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 条件付き確率についての基本演習問題です。 条件付き確率の基本的なイメージを掴むとともに、何を求めるべきなのかをしっかりと芯でとらえられるようになりましょう。 本問は古い問題ですが、最近の教科書傍用問題集や網羅系参考書などにも収録されている条件付き確率に関する古き良き名作です。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 条件付き確率の定義とイメージ ...

2022/12/15

仮想難関大(オリジナル予想問題)【整数~等差数列と素数~】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は整数の問題です。 等差数列の中で連続する素数の個数を考える問題です。 これについては グリーン・タオの定理 任意の正の整数 \(n\) に対して、\(n\) 個の項からなる素数等差数列が存在する。 というテレンス・ ...

2022/12/15

仮想難関大(オリジナル予想問題)【幾何~垂心~】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は幾何の問題です。 重心や外心、内心などは幾何的性質も豊富ですが、垂心についての幾何的性質については中々スポットが当たらないので、これを機に考えてみてほしいと思います。 難易度は冷静な状態であればやや易でしょうが、試 ...

2022/12/8

正八面体の辺ベクトルについての論証【2001年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 正八面体の辺ベクトルについての論証問題であり、一見するとどこから手を付けていいのかが分かりにくい問題でしょう。 題意の主張が当たり前じゃんと思える人もいるでしょうが、どのように記述でまとめるかで悩むかもしれません。 解答自体は短く終わりますが、手も足も出ない人がいてもおかしくはないと思います。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 内積の符号とベクトルのなす角 一般に2つのベクトル \(\vec{a}\) ...

2022/12/6

辺の長さが等差数列をなす三角形【2019年度 東京医科歯科大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 訊かれていること自体はそこまで複雑なものではありませんが、頭に血が昇りやすい問題です。 何のプランもなく気の向くままに解き進めていくと、中々うまくいかない歯がゆさを感じると思います。 手元にある条件と、辿り着くべき目的をしっかりと認識し、その間をどのように埋めていくかということを一個ずつ丁寧に詰めていく力が必要です。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む 手元にある条件 辺の長さ \(a\) ,  \(b\) ,  \( ...

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