放物線と２直線で囲まれる部分の面積【1999年度 大阪府立大学】

領域の図示

ひとまず題意の領域を図示したいと思います。

放物線 \(y=x^{2}\) の上側というのはいいでしょう。

\((y-kx-1)(y-kx-x-1) \leq 0\)

という領域は

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y-kx-1 \geq 0 \\
y-kx-x-1 \leq 0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

または

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y-kx-1 \leq 0 \\
y-kx-x-1 \geq 0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

すなわち

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y \geq kx+1 \\
y \leq (k+1)x+1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

または

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y \leq kx+1 \\
y \geq (k+1)x+1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

ということになり、図示すると

という図の斜線部分（境界線を含む）ということになります。

路線１：まともに計算

というように

• \(y=x^{2}\) と \(y=kx+1\) との交点を \(\mathrm{A}\) ,  \(\mathrm{B}\)
• \(y=x^{2}\) と \(y=(k+1)x+1\) との交点を \(\mathrm{C}\) ,  \(\mathrm{D}\)

とし、\(\mathrm{P}\)\((0 \ , \ 1)\) と設定します。

これを

• \(\triangle{\mathrm{PAC}}\) ,  \(\triangle{\mathrm{PBD}}\) は成分表示された三角形の面積公式
• 残りの部分は \(\displaystyle \frac{1}{6}\) 公式

を用いて捌いていくのが直接的で思いつきやすい方針でしょう。

ただし、この路線はまともに計算を進めていくと、冒頭述べたように心が折れてしまいかねません。

完遂するためには、工夫が必要です。

ただ、その工夫というのは、目がチカチカする部分を置き換えて

目に優しく処理する

という単純かつ強力な工夫です。

「置き換えは幼稚」という謎の固定観念をもった受験生も少なくないのですが、決してバカにしてはいけない工夫です。

この路線は【解１】で扱っています。

路線２：傾きをメインの変数と見る

という面積を

• 傾き \(k\) から傾き \(k+1\) に変化した際の面積の変化量

と捉えます。

どういうことかというと

という傾き \(m\) に依存する面積 \(T(m)\) を先回りして計算しておくのです。

すると、\(x \geq 0\) という右半分の面積は

\(T(k+1)-T(k)\)

という

傾きが \(k\) から \(k+1\) に変化した際の変化量

の形で立式できるわけです。

じゃあ \(x \leq 0\) の領域である左半分はどうするの？

という話ですが、これについては \(y\) 軸について対称移動させてしまい

という図で考えればよく、

\(S(k)=\{T(k+1)-T(k)\}-\{T(-k)-T(-k-1)\}\)

ということになるわけです。

それにしても、計算量は極端に減るわけではなく、工夫をしながら計算を進めていく必要があるでしょう。

これについては【解２】で取り扱っています。

路線３（参考）：傾きを積分変数と見る

路線２は傾きをメインの変数と見て、傾き \(m\) に依存する面積を先回りして計算し、

傾き \(k\) から傾き \(k+1\) へ変化した際の変化量

ととらえる方針でした。

これを発展させて、

• じゃあもういっそのこと、傾き \(m\) を積分変数として見てしまえ

という考えもあります。

ただし、これについてはあくまで観賞用のものだと思いますので、【総括】のあとに参考として触れてあります。

(2) について

正直 (1) ができれば、(2) はそこまで難しくありません。

むしろ (1) ができた人へのご祝儀的な設問です。

(1) が正しく立式できていれば

\(S(k)=\displaystyle \frac{1}{2}k^{2}+\displaystyle \frac{1}{2}k+\displaystyle \frac{7}{6}\)

と出ているはずです。

したがって、

\(\displaystyle \frac{1}{2}k^{2}+\displaystyle \frac{1}{2}k+\displaystyle \frac{7}{6}=\displaystyle \frac{1}{2}k^{3}\)

という方程式を整理すると

\(3k^{3}-3k^{2}-3k-7=0\)

という３次方程式が得られます。

この３次方程式が正の実数解をただ１つもつことを示せばよく、手なりに微分して増減表を得ることで示すことができるでしょう。

解答はコチラ