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２球面の交円上を動く点の立式に関する問題です。
丁寧なレールが敷いてありますが、状況を見失ってしまう受験生も少なくないでしょう。
立式するための補助的な図をイメージできるとある程度スムーズに方向性が見えてくるでしょうが、律儀に図を描こうとして混乱したり、無駄に時間を失ってしまう可能性も十分あります。
座標軸を先にかいてしまうと、図を描くのが困難になります。
座標軸は一旦無視して簡易的な図が描ければ、何を目指せばよいか、あるいはどのように式を立式したらよいかが見えやすくなるでしょう。
最後の「斜めの円上」を動く動点 \(\mathrm{Q}\) をどのように立式するかは差がつく要素です。
普段 \(xy\) 平面において、原点中心、半径 \(1\) の円周上を動く点 \(\mathrm{P}\) を
\(\mathrm{P}\) (\(\cos{\theta} \ , \sin{\theta}\) )
とおきますが、これを
\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(\cos{\theta}) \vec{e_{1}}+(\sin{\theta}) \vec{e_{2}}\)
というように直交する単位ベクトルの１次結合の形と見て、ベクトルで解釈しなおし、応用する力が求められます。