座標

2022/10/22

2乗和と1乗和の解法選択【1993年度 一橋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 単位円上の4点 \(\mathrm{A}\) ,  \(\mathrm{B}\) ,  \(\mathrm{C}\) ,  \(\mathrm{P}\) について \({\mathrm{PA}}^{2}+{\mathrm{PB}}^{2}+{\mathrm{PC}}^{2}\) \({\mathrm{PA}}+{\mathrm{PB}}+{\mathrm{PC}}\) という2乗和、1乗和について扱う問題です。 2乗和、1乗和によって取りたく ...

2022/6/20

円を折り返した折り目の存在範囲【1992年度 千葉大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 円を折り返したときの折り目の存在範囲を考える問題です。 シンプルな題意ですが、解き進めていくといくつかの上級テーマが次から次へと襲い掛かってくるため、完答するためにはそれらを払いのけるだけの確固たる力が必要です。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む 座標の設定 まずは座標の設定です。 自然に設定するとしたら \(\mathrm{A}\)\((-1 \ , \ 0)\) ,  \(\mathrm{B}\)\((1 \ , ...

2022/5/20

放物線の交点による四角形の対角線【2011年度 立命館大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 放物線の交点によってできる四角形の対角線の方程式を求めるという問題です。 まともにカチ合うと茨の道であることは目に見えると思います。 テーマ的には 交点を通る図形の方程式 というテーマです。 よくあるのは 円と円の交点を通る円または直線 について扱った問題で、単元学習時点ではクセの強さゆえ、中々自分のものにするのが大変なトピックスだったと思います。 本問はそのような基本問題をしっかりと自分のものにしているという前提で、その考えを使いこなす応用 ...

2022/5/13

直角三角形の外側に作る二等辺三角形による正三角形【1986年度 福井大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 直角三角形の外側に作る二等辺三角形によって正三角形ができるという話題です。 どんな直角三角形に対しても、外側に頂角 \(120^{\circ}\) の二等辺三角形を配置することで正三角形が作れるという事実は面白いですね。 本問は誘導がついていましたが、誘導があると面白みが薄れるため、今回は誘導設問はカットしました。 ノーヒントで取り組んでみてください。 ノーヒントでも無理なく捌ききれるレベルだと思います。 (以下ネタバレ注意)   ...

2022/4/25

定点からの見込む角が等しくなる点の軌跡【2008年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 定点 \(\mathrm{A}\) ,  \(\mathrm{B}\) ,  \(\mathrm{C}\) が与えられ、 \(\angle{\mathrm{APC}}=\angle{\mathrm{BPC}}\) となる点 \(\mathrm{P}\) の軌跡を考えます。 題意はシンプルですし、恐らく直感的に結論も見える人もいると思います。 ただ、 その場所以外に点 \(\mathrm{P}\) は存在し得ない ということを論じきろうと思うと ...

2022/4/14

放物線に接する外接円【1988年度 大阪大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 放物線に接する外接円の列に関する座標と数列の融合問題です。 放物線と円が接するという状態をどのように捌いていくか それによって得られた数列をいかに捌いていくか という部分が山場となります。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む 設定 ひとまず今回の円 \(O_{n}\) の方程式を立式するために、中心の座標と半径を設定することにします。 中心を \((0 \ , \ a_{n})\) ,  半径を \(r_{n}\) と ...

2022/4/11

分野の設定 変数の設定【1986年度 一橋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 見た目ベクトルの問題です。 本問を通じて様々なものの見方を学ぶことができると思います。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む 本問においては ベクトル・座標・幾何 という分野の選択が考えられます。 ベクトルの路線 平面ベクトルでは 1つの始点、2つの基底 というセオリーに従い、 \(\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}\) と\(\vec{a}\) ,  \(\vec{b}\) で表していきます。 そのため ...

2022/3/26

2022年度 九州大学 理系第1問【折れ線の長さの最小値】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 空間において折れ線の長さの最小値を考える定番の話題です。 オチ自体が典型的な話題ですし、そのオチに向けた誘導もしっかりついています。 第1問ということもあり、本問をしっかり確保することで勢いに乗りたい標準的な問題です。 MathClinic では においてしっかりと扱っています。 勉強している人ほど、様々な解法が目につくため、逆に目移りしてしまうかもしれません。 翻訳の仕方の違いで多少の計算量は増減しますが、劇的に変化するというほどでもないた ...

2022/3/12

2022年度 北海道大学 理系第3問【不等式で表される領域と面積】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 不等式で表される領域と、面積に関する問題です。 方向性自体は割と一本道で、迷うことはありませんが、それを処理しきるためには 「見るべき部分を見る」 ということが必要になってきます。 不必要な部分にとらわれすぎてしまい、身動きがとれなくなってしまう恐れは多々あります。 一つ一つの処理で特別なことはしていませんが、「やり方」に終始して根本的な部分を蔑ろにしてきた受験生からすると、 「聞けば分かる」 で終わってしまいます。 本番の入試で「聞けば分か ...

2022/3/6

2022年度 東北大学 理系第5問【空間における直線のベクトル方程式と漸化式】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 問題文が長く、何を言っているのかを把握するのに集中する必要があります。 まじめな受験生ほど、律儀に絵を描こうとして、この題意の把握に時間をとられてしまう恐れはあります。 正確な図を描こうという心意気は大切ですが、 立式するために必要な見やすい図 が描ければ事足ります。 というように、 \(l\) ,  \(l'\) がそれぞれ \(\vec{a}\) ,  \(\vec{b}\) を方向ベクトルにもつ。 交互に垂線を下ろしあう という状況をし ...

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