ベクトル

2024/2/28

2024年度 東京大学理系第1問【空間座標における角度の処理】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 空間座標における角度の扱いをシンプルに訊いています。 座標において角度を扱う手法としては、様々な方法がありますが、空間座標においては ベクトルの内積を用いて \(\mathrm{cos}\) 経由で処理する という路線が最有力の路線です。 今回の角度は符号付きの角度ではないため、\(0\) から \(\pi\) までの角度で考えればよく、この範囲で\(\mathrm{cos}\) は単調減少ですから 条件 (ⅱ) は \(\cos{\angl ...

2023/4/2

2023年度 大阪大学理系第4問【座標空間における点の軌跡】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(xz\) 平面上の点 \(\mathrm{A}\) と、\(xy\) 平面上の点 \(\mathrm{P}\) を結ぶ直線を原点を通るように垂直に切った平面 \(\alpha\) と、その切り口である点 \(\mathrm{Q}\) を考えます。 お絵描きが中々難しいですが、完ぺきに律儀な図を書かなくても、必要な情報さえ抽出できればよいでしょう。 (1) は式的に攻めるか、図から攻めるかという2路線が考えられますが、ある程度ラフな絵でも情 ...

2023/3/29

2023年度 大阪大学理系第2問【平面ベクトルと点の存在範囲】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 目がチカチカして一見怯んでしまいそうですが、一皮むいてしまえば標準的な内容です。 試験場で解けなかった人からすると、あとから解答を見て なんでこれができなかったんだ と唇を噛むタイプの問題です。 指導者レベルの経験値をもった人であれば当たり前に感じてしまう工夫なのですが、受験生レベルだと(ましてや試験場だと)アタフタするかもしれません。 本問は文系第3問との共通問題でした。 文系の受験生だと一皮が分厚く感じるでしょうが、阪大理系受験生であれば ...

2023/3/23

2023年度 北海道大学理系第2問【球と直線の2交点】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 空間座標における球面、平面、直線に関する問題です。 手始めに球の中心と平面 \(\mathrm{ABC}\) との距離を求め、次に球の中心の座標を求め、オチは球と直線の2交点の距離を求めるという流れです。 計算量、難易度はともに標準的で、今年 (2023年) のセットの中では唯一無理のない範囲で完答が狙える問題です。 律儀に \(x\) 軸、\(y\) 軸、\(z\) 軸を書いてやろうとすると見にくく使い物にならない絵を貴重な時間を割いて書く ...

2023/3/16

2023年度 九州大学理系第3問【任意の格子点が斜交座標においても格子点となる条件】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) ベクトルに関する論証問題ですが、1次変換に伴う斜交座標への変換という話題を扱っており、現行課程に行列がないため受験生はイメージが掴みにくいでしょう。 成分を用いて噛み砕いていくことで、数式的に処理していけますので、特別な知識は必要ありません。 ただ、問題の条件を適切に咀嚼する顎の力が必要です。 また、最後の (3) は全称命題としての独特の捌き方をします。 「任意の(全ての)」や「存在する」といった言葉をきちんと汲み取る力も求められ、文字も多 ...

2023/3/12

2023年度 東北大学理系第5問【四面体の頂点から対面に下ろした垂線の足の位置ベクトル】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 四面体の頂点から対面に下ろした垂線の足の位置ベクトルにスポットを当てた問題です。 基本に忠実に、登場人物を \(\vec{a}\) ,  \(\vec{b}\) ,  \(\vec{c}\) で表し、大きさと内積という基本情報を駆使しながら計算を進めていくことになります。 非常に基本的なレベルの問題であり、基本的には一本道であるため怖いのは計算ミスぐらいのものです。 なお、今回の四面体は作為的に設定されているため、その特殊性に気がつくと、多少 ...

2023/3/4

2023年度 京都大学理系第2問【空間における2直線が交点をもつ条件】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 空間ベクトルについての基本問題です。 内分点、中点の位置ベクトルの導出 共線条件 2直線が交点をもつ条件 など、空間ベクトルに関する基本事項のセットとなっています。 なお、あまり律儀にお絵描きする必要はなく、立式の補助としてある程度の図で構わないでしょう。 問題によってはある程度正確に図を書き、図形的な考察を通さないと負担が重くなるような問題もありますが、本問はある程度ラフな図でも立式さえできれば、式的な処理で押し通せる範疇です。 そういった ...

2023/2/27

2023年度 東京大学理系第4問【球と三角形が共有点をもつ条件】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 空間座標に関する問題で、ベクトル特有の機械的処理要素もありつつ、図形的な考察力も要する良問です。 (1) ,  (2) までは東大受験生であれば確保したいレベルで、(3) は差がつくでしょう。 一気に処理しようとせず、一つずつ丁寧に状況を整理していくと、全体像がつかめてきます。 全体像がつかめればこちらのもので、やるべきことや目の付け所が浮かんできやすくなります。 図形的な考察要素を好む東大らしい一問でしょう。 今年のセットの中では他の問題に ...

2023/1/17

アステロイドの射影【ベクトル方程式の活用】【1999年度 お茶の水女子大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) アステロイドに光を当てたときにできる影について考える問題です。 立式さえできれば、曲線の長さという基本的な計算になりますので、この影が表す図形をどのように立式するかがポイントになってきます。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む イメージ図 ひとまずは問題の図形 \(D\) ,  \(D'\) のイメージを掴みたいと思います。 図形 \(D\) の境界線が表す曲線を \(C\) ,  図形 \(D'\) の境界線が表す曲 ...

2023/1/3

幾何・座標・ベクトル【解法の選択】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 見た目はベクトルの問題ですが、様々な解法が考えられます。 そのままベクトルで捌くのもいいですし、少し凝った解法で捌いてもよいでしょう。 正攻法に攻めても問題なく捌けるという点は試験場ではありがたいですね。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 路線1:ベクトル 見た目通りベクトルの問題として捌いていくことを考えてみます。 まず、3点 \(\mathrm{A}\) ,  \(\mathrm{B}\) ,  \ ...

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