ベクトル

2022/10/22

2乗和と1乗和の解法選択【1993年度 一橋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 単位円上の4点 \(\mathrm{A}\) ,  \(\mathrm{B}\) ,  \(\mathrm{C}\) ,  \(\mathrm{P}\) について \({\mathrm{PA}}^{2}+{\mathrm{PB}}^{2}+{\mathrm{PC}}^{2}\) \({\mathrm{PA}}+{\mathrm{PB}}+{\mathrm{PC}}\) という2乗和、1乗和について扱う問題です。 2乗和、1乗和によって取りたく ...

2022/8/11

面積比のとり得る値【1997年度 九州大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 決して派手な問題ではありませんが、ベクトルに関する基本的な扱いを要求し、最後は面積比の最小問題がオチという実戦的な演習問題です。 角度を共有する三角形の面積比については手際よく立式したいところです。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む (1) について \(\overrightarrow{\mathrm{OG}}\) についてですが、\(k\) 倍する前の \(\overrightarrow{\mathr ...

2022/5/13

直角三角形の外側に作る二等辺三角形による正三角形【1986年度 福井大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 直角三角形の外側に作る二等辺三角形によって正三角形ができるという話題です。 どんな直角三角形に対しても、外側に頂角 \(120^{\circ}\) の二等辺三角形を配置することで正三角形が作れるという事実は面白いですね。 本問は誘導がついていましたが、誘導があると面白みが薄れるため、今回は誘導設問はカットしました。 ノーヒントで取り組んでみてください。 ノーヒントでも無理なく捌ききれるレベルだと思います。 (以下ネタバレ注意)   ...

2022/5/1

正十二面体についての位置ベクトル【2011年度 福井大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 正十二面体に関する位置ベクトルについての問題です。 必然的に正五角形に関する扱いが求められます。 空間ベクトルの問題においては、正四面体などの簡単な立体は扱ったこともあるでしょうが、正十二面体となるとキッチリと地力の差が出るでしょう。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む (1) について 正五角形に含まれる黄金三角形の黄金分割によって、正五角形の対角線の長さを求めていきます。 これらの用語が初耳だという方は テーマ別演 ...

2022/4/25

定点からの見込む角が等しくなる点の軌跡【2008年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 定点 \(\mathrm{A}\) ,  \(\mathrm{B}\) ,  \(\mathrm{C}\) が与えられ、 \(\angle{\mathrm{APC}}=\angle{\mathrm{BPC}}\) となる点 \(\mathrm{P}\) の軌跡を考えます。 題意はシンプルですし、恐らく直感的に結論も見える人もいると思います。 ただ、 その場所以外に点 \(\mathrm{P}\) は存在し得ない ということを論じきろうと思うと ...

2022/4/11

分野の設定 変数の設定【1986年度 一橋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 見た目ベクトルの問題です。 本問を通じて様々なものの見方を学ぶことができると思います。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む 本問においては ベクトル・座標・幾何 という分野の選択が考えられます。 ベクトルの路線 平面ベクトルでは 1つの始点、2つの基底 というセオリーに従い、 \(\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}\) と\(\vec{a}\) ,  \(\vec{b}\) で表していきます。 そのため ...

2022/4/8

四面体に関する論証【2012年度 北里大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 四面体に関する論証問題で、ひとまず例題でウォーミングアップをし、そこから徐々にステップアップをしていきます。 例題、類題1はセオリー通り手なりに進めていっても、特に大きな問題はないと思います。 類題2についてはセオリー通り進めていくと、冗談じゃない処理となりますので、工夫が必要となります。 ひとまずは自力で解き進 ...

2022/4/7

空間版メネラウスの定理【2015年度 埼玉大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) メネラウスの定理の空間版ともいえる内容の証明を考える問題です。 一応、ベクトルでゴリ押しすることもできますが、そちらについては【復習用問題】の【総括】で扱うことにします。 ここでは平面版のメネラウスの定理の拡張を前面に出した幾何的な路線をメインの路線として考えてみます。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む 平面版のメネラウスの定理の主張 というように、 \(\triangle{\mathrm{ABC}}\) を、直線 ...

2022/3/26

2022年度 九州大学 理系第1問【折れ線の長さの最小値】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 空間において折れ線の長さの最小値を考える定番の話題です。 オチ自体が典型的な話題ですし、そのオチに向けた誘導もしっかりついています。 第1問ということもあり、本問をしっかり確保することで勢いに乗りたい標準的な問題です。 MathClinic では においてしっかりと扱っています。 勉強している人ほど、様々な解法が目につくため、逆に目移りしてしまうかもしれません。 翻訳の仕方の違いで多少の計算量は増減しますが、劇的に変化するというほどでもないた ...

2022/3/10

2022年度 北海道大学 理系第2問【平面ベクトルと漸化式】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 与えられたベクトルに関する漸化式により、点列 \(\{\mathrm{P}_{n}\}\) ,  \(\{\mathrm{Q}_{n}\}\) が定まっていきます。 この \(\mathrm{P}_{n}\) の座標を \((x_{n} \ , \ y_{n})\) としたときの \(x_{n}\) や \(y_{n}\) が求められています。 図形的にアプローチする 式をゴリゴリ処理していく という2路線が考えられますが、図形的なイメージで ...

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