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空間座標における角度の扱いをシンプルに訊いています。
座標において角度を扱う手法としては、様々な方法がありますが、空間座標においては
- ベクトルの内積を用いて \(\mathrm{cos}\) 経由で処理する
という路線が最有力の路線です。
今回の角度は符号付きの角度ではないため、\(0\) から \(\pi\) までの角度で考えればよく、この範囲で\(\mathrm{cos}\) は単調減少ですから
条件 (ⅱ) は
\(\cos{\angle{\mathrm{AOP}}} \leq \cos{\displaystyle \frac{2\pi}{3}}\)
条件 (ⅲ) は
\(\cos{\angle{\mathrm{OAP}}} \geq \cos{\displaystyle \frac{\pi}{6}}\)
と捌いていくことになります。
途中で根号を含む同値変形の処理に迫られますが、東大受験生であれば難なく捌ききりたいレベルです。