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数学では珍しい一問一答的な問題です。
ただ、その中でも
- 特徴的な形を見逃さない
- 特徴を抽出する
という力を養ううえでいい訓練になると思います。
特に最後の
\(f(2x)=f(x)\)
を満たす \(f(x)\) については、人によっては苦戦するでしょう。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む \(f(-x)=-f(x)\) は奇関数がもつ特徴的な性質です。 (というより、この特徴をもつ関数を奇関数と呼びます。) ということであり、 原点対称なグラフになる ことを意味します。 \(x\) , \(x^{3}\) , \(x^{5}\) \(\cdots\) などの \(x^{奇数}\) に加え、 \(\sin{x}\) なども奇関数の代表例です。 \(f(-x)=f(x)\) という性質をもつ関数は偶関数と呼ばれます。 ということを意味しており、 \(y\) 軸対称なグラフとなる ことを意味します。 \(x^{2}\) , \(x^{4}\) , \(x^{6}\) \(\cdots\) などの \(x^{偶数}\) に加え、 \(\cos{x}\) なども偶関数の代表例です。 \(f(\displaystyle \frac{1}{x})=-f(x)\) については \(f(x^{-1})=-f(x)\) と指数表記で見ると分かりやすいでしょうか。 と見ると、 \(f(x)=\log{x}\) という対数関数がインスピレーションされます。 \(f(\displaystyle \frac{1}{x})=f(x)\) については (3) が強力なヒントでしょう。 (3) のマイナスを無視したいわけで、そうなると操作的には 平方する ということが想起され、 \(f(x)=(\log{x})^{2}\) が例として挙げられるでしょう。 \(x\) と \(\displaystyle \frac{1}{x}\) に関して対称であるという捉え方もできますから \(f(x)=x+\displaystyle \frac{1}{x}\) という例も考えられます。 逆にここから (3) の例として \(f(x)=x-\displaystyle \frac{1}{x}\) が考えられます。 \(f(x+1)=2f(x)\) という関係式は 引数が１増えると、元の２倍となる ということから、 \(f(x)=2^{x}\) が想起されます。 \(f(x+1)=f(x)\) については 周期が \(1\) の周期関数 と見ることができます。 一般に \(f(x+p)=f(x)\) を満たす関数 \(f(x)\) を周期 \(p\) の周期関数と呼び、周期の中で最小のものを基本周期と言います。 （最近は単に周期と言ったら基本周期を指すという風潮があり、基本周期という言葉が消えている教科書もあります。） さて、本問の話に戻ります。 周期関数の代表例は三角関数です。 そこで、\(\sin{x}\) をベースに考えていきたいと思います。 角速度が２倍になれば、１周するのにかかる時間（周期）は半分の \(\displaystyle \frac{1}{2}\) 倍となります。 つまり、 角速度と周期は反比例する ということになります。 \(\sin{x}\) の周期は \(2\pi\) です。 今回は、周期を \(1\) と、\(\displaystyle \frac{1}{2\pi}\) 倍にしたいわけですから、角速度を\(2\pi\) 倍とすればよいわけです。 したがって、 \(f(x)=\sin{2\pi x}\) が一例として考えられます。 \(f(2x)=1+f(x)\) については、「ん？」となるかもしれません。 一発で見れる人は問題ないですし、色々試して偶然発見したという人もいるでしょう。 この \(1\) という定数を捌いていきます。 \(f(2)=1\) を満たす \(f(x)\) で探してみます。 これにより、 \(f(2x)=f(2)+f(x)\) と、\(f\) だけの式で表現でき、ここから \(f(x)=\log_{a}{x}\) という対数関数がインスピレーションされます。 今 \(f(2)=1\) ということから \(f(x)=\log_{2}{x}\) が一例として挙げられるでしょう。 \(f(2x)=f(x)\) というシンプルな関係性ですが、探しても意外と「むむ？」となるでしょう。 (7) をヒントとしたいところです。 (7) の \(+1\) が邪魔なのですが、その \(+1\) を無効化する関数が (6) にあります。 ここから、(6) , (7) の２つの関数の合成関数を考えればよいことに気がつけば解決です。(1) について
(2) について
(3) について
(4) について
その他の見方
(5) について
(6) について
(7) について
(8) について