問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
2021年度入試の中でも注目度が一際高かった問題です。
問題文の意味自体は下手すると小学生でも分かりますが、実際に試験場で見ると面食らう受験生も多かったかもしれません。
実際に自分ではできたつもりでも、実は数え方がマズく証明できていないということにもなりかねないため、自分の手応えと実際の出来具合にはギャップがあるかもしれません。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む 素数よりも合成数の方が数えやすいわけですから、合成数の方を数えていきます。 \(1\) は素数ではありませんから、\(2\) 以上 \(1000\) 以下の自然数のうち、合成数を \(749\) 個見つければ勝ちです。 まずは全体集合として とします。 \(U\) の部分集合のうち とします。 \(n(A)=[\displaystyle \frac{1000}{2}]=500\) ですから、まだまだ全然 \(749\) 個には届きません。 そこで、さらに とすると \(n(B)=[\displaystyle \frac{1000}{3}]=333\) です。 重複 \(n(A \cap B)=[\displaystyle \frac{1000}{2 \cdot 3}]=166\) に注意すれば \(n(A \cup B)=500+333-166=667\) で、まだまだ \(749\) 個には届きません。 そこでさらに、 を考え、\(n(A \cup B \cup C)\) を考えていきます。 という包除原理に注意して数え上げると \(n(A \cup B \cup C)=734\) となります。 \(2\) , \(3\) , \(5\) そのものは素数であるため \(731\) 個 が合成数であることが確定しますが、それでもまだ \(749\) 個には \(18\) 個届きません。 ここから２路線考えられます。 この路線を継続する方向性で言えば \(U\) の部分集合のうち として、\(n(A \cup B \cup C \cup D)\) を考えていく路線が考えられます。 この路線は【解２】で扱っています。 あと \(18\) 個見つければいいのであれば、手探りで探してしまうというのも１つの手です。 \(7\) , \(11\) , \(\cdots\) , \(p\) という \(k\) 個の素因数 を考えてみます。 ひとまず、 \(m^{2}\) 型の合成数 として \(7^{2}\) , \(11^{2}\) , \(\cdots\) , \(p^{2}\) という \(k\) 個の合成数があります。 次に \(7 \cdot 11\) , \(7 \cdot 13\) , \(\cdots\) といった、\(mn\) 型の合成数が \({}_k \mathrm{ C }_2=\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}\)個 あります。 この段階で \(k+\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}=\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}\)個 の合成数があります。 そこで \(\displaystyle \frac{k(k+1)}{2} \geq 18\) を満たす最小の \(k\) を考えると \(k=6\) であるため、 \(7 \ , \ 11 \ , \ 13 \ , \ 17 \ , \ 19 \ , \ 23\) という \(6\) 個の素因数のみをもつ合成数を上記の要領で数えていけば解決します。 この路線を【解１】としています。方向性
\(2\) の倍数の個数
\(3\) の倍数の個数
\(5\) の倍数の個数
路線１：７の倍数を考える
路線２：手探りで見つけてしまう。