球の追加による確率【1970年度 九州大学】

いきなりが難しければ実験

いきなり、\(n\) 個目の壺にいくのは難しいでしょうから、ひとまずは実験してみて様子を掴んでみることにします。

\(k\) を正の整数として

• \(k\) 個目の壺から白球を取り出す確率を \(p_{k}\)

とします。

\(p_{1}\) について

\(p_{1}\) については迷いなく

\(p_{1}=\displaystyle \frac{a}{a+b}\)

と即答です。

\(p_{2}\) について

\(p_{2}\) は

というように、

• １個目の壺から赤球を取り出して、２個目の壺の白球が \(a\) 個のままになってから、白球を取り出す

または

というように、

• １個目の壺から白を取り出して、２個目の壺の白球が \(a+1\) 個となってから、白球を取り出す

という２つの場合があります。

したがって、

$$\begin{eqnarray}
p_{2} &=& \displaystyle \frac{b}{a+b} \cdot \displaystyle \frac{a}{a+b+1}+\displaystyle \frac{a}{a+b} \cdot \displaystyle \frac{a+1}{a+b+1} \\
&=& \displaystyle \frac{a\{b+(a+1)\}}{(a+b)(a+b+1)} \\
&=& \displaystyle \frac{a}{a+b}
\end{eqnarray}$$

となります。

実験の結果

ここまでくると

あれ？

となるでしょう。

• \(p_{3}\) ,  \(p_{4}\) ,  \(\cdots\) についても \(\displaystyle \frac{a}{a+b}\) なのでは？

という予測が立ちます。

予測が立てばそれを数学的帰納法で証明します。

一定のアルゴリズムに注目すると

この操作は一定のアルゴリズムによるものであることに注目すれば

漸化式の立式

というのも有力な方針の一つです。

この路線については【戦略２】【解２】で触れています。

振り返ってみると

結局第２の壺以降は、

と、赤球を追加された状態か

という白球を追加された状態

のいずれかしかありえません。

ある意味、

• 白球が出づらくなっていく
• 白球が出やすくなっていく

というようなことはなく、何番目の壺かによらず、白が取り出される確率は一定であるという本問の結果は納得がいきやすいかもしれません。

本問と似たような話題で「ポリアの壺」という話題があります。

それに比べれば、本問は比較的マイルドな難易度で収まっていると言えましょう。

難関大志望者については一度は本家ポリアの壺も経験しておくとよいでしょう。

解答はコチラ