心構え
ひとまず、我々が心に刻みたいことは
我々は具体的な数に対して何もできない
ということです。
我々がこれまで学んできた数学的な手法のほとんどは
変数にまつわる手法
です。
一般的に変化する \(x\) に対するふるまいを扱う道具が
関数 \(f(x)\)
であり、そのふるまいを捉える手法の代表選手が「微分法」です。
形を揃えて比較する
今回示すべき
\(\sqrt{2} \lt e^{\frac{1}{e}}\)
という不等式をこのまま見ていても埒があきません。
比較するにしても
何かしら形が揃っている
という状況が必要です。
そこで、示すべき不等式を指数での表記に合わせて
\(2^{\frac{1}{2}} \lt e^{\frac{1}{e}}\)
という形で見ます。
関数の設定
ここまでくれば、今回比較する２数は
\(f(x)=x^{\frac{1}{x}}\)
という関数 \(f(x)\) における
\(f(2)\) と \(f(e)\)
ということが分かると思います。
したがって、関数 \(f(x)\) のふるまいを調べにいきます。
範囲としては底の条件や、\(\displaystyle \frac{1}{x}\) の定義域、及び最終的に代入する \(2\) や \(e\) が含まれる
\(x \gt 0\)
で設定すればよいでしょう。
ここから先は基本のお話です。
対数微分法
\(f(x)=x^{\frac{1}{x}}\) のように、底にも指数にも変数が入っている場合、
対数微分法
という手法を用いて捌くのが基本です。
\(y=x^{\frac{1}{x}}\) において、両辺自然対数をとると
\(\log{y}=\displaystyle \frac{1}{x} \log{x}\)
となります。
これを両辺 \(x\) で微分すると
$$\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{1}{y} \cdot \displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{x} \cdot x-\log{x}}{x^{2}} \\
&=& \displaystyle \frac{1-\log{x}}{x^{2}}
\end{eqnarray}$$
となりますから、我々が欲しい導関数に相当する \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) は
$$\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx} &=& y \cdot \displaystyle \frac{1-\log{x}}{x^{2}} \\
&=& x^{\frac{1}{x}} \cdot \displaystyle \frac{1-\log{x}}{x^{2}}
\end{eqnarray}$$
ということになります。
したがって、\(x \gt 0\) の範囲では、\(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) の符号は
ということになり、その符号は
- \(y=1\) , \(y=\log{x}\) のグラフの上下関係
から読み取ります。
この後は増減表を書き、目論見通り
\(f(2)\) , \(f(e)\) の大小
を考えればよいことになります。
ちょっとした工夫
示すべき不等式を
\(2^{\frac{1}{2}} \lt e^{\frac{1}{e}}\)
と見て、
\(f(x)=x^{\frac{1}{x}}\)
と設定してもよいですが、もう少し工夫してみます。
示すべき不等式の両辺自然対数をとってみると
\(\displaystyle \frac{1}{2} \log{2} \lt \displaystyle \frac{1}{e} \log{e}\)
です。
このように見ると
\(f(x)=\displaystyle \frac{1}{x} \log{x}\)
と設定して
\(f(2)\) と \(f(e)\) を比較する
ということになります。
先ほどの対数微分法と比較すると
- 関数設定してから対数をとる
- 対数をとって比較対象をほぐしてから関数設定をする
という順番の違いであり、上記の対数微分法と本質的にはあまり変わってはいません。
ただ、難問になってくると
示すべき不等式をできるだけほぐす
という態度がモノをいうこともありますので、狙えるなら狙っていきましょう。
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