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今回からテーマ別演習でパターン性の濃い計算技法を扱っていこうと思います。
今回のテーマは「シグマ計算」です。
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シグマ計算基本方針 第１講【公式確認とその延長】【2010年度 九州大学など】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回からテーマ別演習でパターン性の濃い計算技法を扱っていこうと思います。 今回のテーマは「シグマ計算」です。 このシリーズの一覧はこちら 最初にまとめておきます。 シグマ計算の基本方針は次の３つです。 シグマ計算基本方針 公式利用とその延長 差分解からの和の中抜け 二項定理の活用 第１講はまずシグマ計算の公式の確認と、その延長について扱います。 手始めにまずは上の問題で公式の確認と、その証明をしてみてください。 最 ...
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シグマ計算基本方針 第２講【差分解からの和の中抜け】【2013年度 兵庫県立大学など】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 【有理化】 【部分分数分解】 テーマ別演習「シグマ計算基本方針」第２講です。 このシリーズの一覧はこちら シグマ計算の基本方針は次の３つです。 シグマ計算基本方針 公式利用とその延長 差分解からの和の中抜け 二項定理の活用 今回の第２講では 差分解からの和の中抜け を扱います。 差分解からの和の中抜けとは \(\displaystyle \sum_{k=1}^n (b_{k}-b_{k+1})\) とシグマの中身を差の形に見ることで \((b ...
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シグマ計算基本方針 第３講【二項定理の活用】【2007年度 大阪府立大学ほか】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） テーマ別演習「シグマ計算基本方針」第３講です。 このシリーズの一覧はこちら シグマ計算の基本方針は次の３つです。 シグマ計算基本方針 公式利用とその延長 差分解からの和の中抜け 二項定理の活用 今回の第３講では 二項定理の活用 を扱います。 二項定理を活用してシグマ計算する場面は特徴的であり、 二項定理を使うシグマ計算 コンビネーションのシグマ というのが見落としてはならない特徴であり、キーワードです。 ただ、単純に代入すればいいだけでなく、 ...
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シグマ計算基本方針 第４講【応用実践】【2005年度 大分大学ほか】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 【１】（以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 連続自然数の積のシグマ計算は工夫の余地があります。 バラバラに展開してしまった人は「ジェイソン」と呼ばせていただきます。 バラバラにして\(\displaystyle \sum_{k=1}^n k\) , \(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^{2}\) , \(\cdots\) などを使って計算していくのは流石にシンドイと思います。 和の中抜けを ...
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シグマ計算基本方針 第５講【二項係数の２乗和】【経験値が必要】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 初見かつノーヒントであれば厳しいと思います。 まずはノーヒントで粘れるだけ粘ってみてください。 どうにも埒があかないな、となったら誘導付きの問題も用意しましたので、そちらで再チャレンジしてみてください。 + クリック（タップ）して誘導付きの問題でチャレンジする 誘導付きはこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \((1+x)^{2n}\) という式を考えるという部分が見えるだけでも、気持ち的には楽でしょう。 と ...
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シグマ計算基本方針 第６講【二項係数の交代和】【2005年度 山形大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら 今回扱うのは二項係数の符号が入れ違いになっている和（交代和）について考えます。 前半部分は第３講で扱った「二項定理の活用」という話題です。 「\((1+x)^{n}\) の展開式を用いて」というのはここまで勉強してきた人からすると正直余計なお世話でしょう。 (ii) の偶数番目だけを取り出したい、奇数番目だけを取り出したい、という問題についても (i) で考えた \(a\) , \(b\) を利用 ...
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シグマ計算基本方針 第７講【３つ飛ばしの二項係数の和】【1997年度 岐阜大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら 今回扱うのは３つ飛ばしの二項係数の和について扱います。 原題ではもう少し段階的な設問がありましたが、言われたことをやっているうちに終わってしまい、作業感が強かったため、考えてもらいたい部分については一部カットしました。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について 二項定理の活用により仕留める方針が第一感です。 \((1+x)^{n}={}_{n} \ma ...
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最初にまとめておきます。
シグマ計算の基本方針は次の３つです。
シグマ計算基本方針
- 公式利用とその延長
- 差分解からの和の中抜け
- 二項定理の活用
第１講はまずシグマ計算の公式の確認と、その延長について扱います。
手始めにまずは上の問題で公式の確認と、その証明をしてみてください。
最初に言っておきますが、「数学的帰納法」で証明するのは趣旨に反します。
「結果を知らないものとして」導出してみてください。
結果はともかく、証明と言われると「ウッ」となる人も多いと思います。
公式の証明系の出題は試験場で遭遇した場合、できなかったときの精神的ダメージが大きいと思います。
直前期であれば、下手に新たな問題に手を付けるというよりも、むしろ教科書をきちんと確認して、調子を整えるぐらいでちょうどよいかもしれません。
公式の確認と証明はコチラ
導出まで含めてきちんと自分のものになって、次のような【公式の延長問題】に立ち向かえるでしょう。
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
少し、順番が前後してしまうのですが、(1) の導出過程では厳密には「差分解からの和の中抜け」を利用しています。
（差分解からの和の中抜けは、本格的には第２講で扱う予定です。）
ちょっとだけフライングをすると和の中抜けとは
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n (b_{k}-b_{k+1})=(b_{1}-b_{2})+(b_{2}-b_{3})+\cdots+(b_{n}-b_{n+1})\)
\(=b_{1}-b_{n+1}\)
と、背中合わせで（あるいは何個か飛びで）バサバサと消えてしまう現象です。
というか、公式確認で扱った
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n k\) , \(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^{2}\) , \(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^{3}\) の導出（証明）もそれで言うと「差分解からの和の中抜け」を利用しています。
となると、最初に
シグマ計算基本方針
- 公式利用とその延長
- 差分解からの和の中抜け
- 二項定理の活用
とまとめましたが、「公式利用」の『公式』の中身が和の中抜けで証明されるということを考えると、シグマ計算のほとんどが「差分解からの和の中抜け」ということになります。
ただ、実戦の現場では毎回毎回同じような作業をするのは大変と言うことで公式化して、結果をダイレクトに使っていますけどね。
(2)のタイプは等比数列の和の公式の延長にあり、
と呼ばれています。
これについては
という態度が特効薬であり、ほぼ知らないと無理です。
なんのこっちゃと言う人は具体的に解答の中で「そういうことね」と納得してください。
ちなみに等比数列の和の公式の導出についても、この「かけずら」という態度です。
（公差が 0 の等差数列と見なせば、等比数列の和も（等差）×（等比）型ですから。）
【公式の延長】の解答はコチラ
