最大・最小

2023/3/5

2023年度 京都大学理系第4問【合成関数の最大最小】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 関数の最大値、最小値を求めるという極めてド直球なテーマです。 今回の \(f(x)\) は \(g(x)=x+\displaystyle \frac{1}{x}\) \(h(x)={e}^{-x^{2}}+\displaystyle \frac{1}{4}x^{2}+1\) と設定した際に \(f(x)=g(h(x))\) という形になっているいわゆる合成関数です。 \(y={e}^{-x^{2}}+\displaystyle \frac{1 ...

2022/8/11

面積比のとり得る値【1997年度 九州大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 決して派手な問題ではありませんが、ベクトルに関する基本的な扱いを要求し、最後は面積比の最小問題がオチという実戦的な演習問題です。 角度を共有する三角形の面積比については手際よく立式したいところです。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む (1) について \(\overrightarrow{\mathrm{OG}}\) についてですが、\(k\) 倍する前の \(\overrightarrow{\mathr ...

2022/7/16

長さ一定の放物線の弦の中点【2008年度 東京大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 長さが一定の放物線の弦の中点について考える問題です。 素直に立式していけば特に無理はないのですが、普段から場当たり的に問題を解いていると意外と右往左往しかねません。 合格者にとってのスタンダードとなるレベルといってよいでしょう。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む (1) について ひとまずは \(\mathrm{P}\)\((p \ , \ p^{2})\) ,  \(\mathrm{Q}\)\((q ...

2022/6/17

絶対値に関する従属2変数関数【2009年度 群馬大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 絶対値に関する従属2変数関数の最大最小問題です。 従属2変数関数については などで色々取り扱ってはいます。 これまで身につけたノウハウがきちんと通用するかを確認するとともに、手薄になりがちな手法も確認する目的として演習していただければと思います。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 従属2変数関数の扱いの基本 従属2変数関数に関しては 文字消去 ということを狙うのがまずは第一です。 2変数関数から文字が消 ...

2022/5/26

サイクリックな形の2次関数の最大値【1964年度 横浜国立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(a\) ,  \(b\) ,  \(c\) についての対称性(巡回性)をもった2次方程式、2次関数の最大値について考える問題です。 とりわけ (2) は絶対値付きの2次関数の最大値ということで、色々うるさそうな問題に見える反面、 なんかうまくできそう という気を掻き立ててきます。 こういう香ばしい匂いのする問題はある意味危険で、深入りしすぎて爆死する可能性も孕んでおり、試験場においては冷静な判断が求められるでしょう。 (以下ネタバレ注意) ...

2022/5/23

独立2変数の絶対不等式【2005年度 東京理科大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 1変数に関する絶対不等式をもとに、独立2変数に関する絶対不等式まで扱う問題です。 (1) は定番中の定番の話題で、(2) も学習を進めている人からすれば経験しているという人も多いでしょう。 (2) は噛み砕き力があれば、初見でも対応は可能です。 ただ、マニュアルに依存していると何が言えればよいのかを噛み砕けず立ち往生しかねません。 結果的に分からなくて解答を見ること自体は否定しません。 知らなきゃキツイ問題や、経験に依存する問題があるのも事実 ...

2022/5/10

放物線上の4点によって作られる四角形の面積の最大【1990年度 横浜市立大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 放物線上の4点によって作られる四角形の面積の最大値を考える問題です。 すごくシンプルな問題に見えますが、完答するためには確固たる足腰が必要な問題です。 手際が悪いと案外打ち損じてしまう可能性も十分ありますが、地道に鍛錬を重ねてきた人は初見であってもキッチリと確保してくるでしょう。 そういった意味で合否の分かれ目となりそうなレベルの標準問題です。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 座標の設定 ひとまずは、 ...

2022/3/9

2022年度 北海道大学 理系第1問【絶対値付きの2次関数の最小値】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 絶対値付きの2次関数の最小値を考える問題ですが、2変数 \(a\) ,  \(b\) を含んでおり、整理力が必要です。 個人的には東大文系の匂いを感じました。(主観) まずは丁寧に場合分けをして絶対値を外す作業をします。 (1) は \(x \lt 0\) ,  \(x \gt 1\) という範囲が決まっており、条件 \(0 \leq a \leq b \leq 1\) ということを加味すると、この範囲では各絶対値はそのまま外れることになりま ...

2022/2/22

最短経路に関する応用問題【1981年度 高知医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 最短経路に関する問題は大抵の場合 場合の数・確率 の分野の問題です。 本問は最短経路に関する場合の数ではなく、最短経路を題材として式の扱いや論証力を試す最大最小問題です。 経験と思考力の双方が求められます。 割合的には思考力寄りの問題で、アイデア一つで困難を乗り越える感覚が味わえる好きな問題の一つです。 そのアイデアも突拍子もないものではなく、難関大受験生なら一度はどこかで目にしたことのあるアイデアです。 また、そのアイデアをインスピレーショ ...

2022/2/9

仮想難関大(オリジナル予想問題)【座標~放物線の極線~】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は座標に関する問題です。 円の極線という話題があります。 というように、円の外部の点から引いた2接線の2接点を通る直線を円の極線と言います。 本問はそれを放物線でやろうという問題です。 (以下ネタバレ注意) &nbs ...

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