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三角関数に関する方程式の解と、その解の個数に関する極限について考える問題です。
今回の
\(\sin{3x}+\sin{x}=0\)
という方程式の解を求めること自体は基本的なレベルであり、(1) は確保しないとツライものがあります。
実質は (2) の勝負です。
\(m\) 以下の解の個数を把握しようと思うと
\(m\) がどの程度の大きさなのか
ということに興味がいくでしょう。
今回の方程式の正の解は
\(x=\displaystyle \frac{\pi}{2} \ , \ \displaystyle \frac{2\pi}{2} \ , \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \ , \ \cdots \ , \ \displaystyle \frac{k\pi}{2} \ , \ \cdots\)
ということなので、数直線のイメージ的に
というように、\(m\) が
\(\displaystyle \frac{k\pi}{2} \leq m \lt \displaystyle \frac{(k+1)\pi}{2}\)
という範囲にあれば、\(m\) 以下の解の個数 \(p(m)\) は
\(p(m)=k\)
と式として立式できます。
この後は、\(k\) , \(m\) に関する不等式を用いてはさみうちの原理で仕留める算段が付きます。
また、人によってはガウス記号を持ち出した人もいるかもしれません。
ただ、狙い筋はほぼ同じです。
昨年 (2022年) も評価して、はさみうちの原理で仕留める問題がありました。
今年は \(p(m)\) を立式する際に用いる不等式をそのまま使えばよいため、昨年ほど敷居は高くはないでしょう。