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複素数平面上で帰納的に定まる図形の列について考える問題です。
試しに \(C_{1}\)から \(C_{2}\) を作ってみると、構造や要領がつかみやすいと思いますし、 それができるなら \(C_{n}\)から \(C_{n+1}\) を作るのもできるはずです。
変換の意味を考えてみると、
- \(\displaystyle \frac{1}{2}\) 倍縮小＆平行移動
で、半径がどんどん半分になっていく円であることは想像できる人にはできるのでしょうが、試験場では下手に凝ったことを考えるより素直に進めるのがよいでしょう。
まぁ、要領さえつかんでしまえば (1) は帰納法で手なりに片付きますからここまでは確保したいところです。
(2) は当然 \(\mathrm{O}\) と中心 \({\alpha}_{n}\) を結んでみたくなると思います。
その際、
\(\mathrm{O}\) と \({\alpha}_{n}\) の位置関係
に興味がいくはずで、半径との兼ね合いも考えると、\(\mathrm{O}\) が円 \(C_{n}\) の内部にいるのか外部にいるのかを調べたくなります。
- 〇〇したい
- ○○に興味がある
というのが次の一手を支える素朴な感情です。