複素数平面

2023/4/5

2023年度 名古屋大学 理系 第1問【複素数平面上の円上の点を解にもつ4次方程式】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 複素数平面上での円上の点が表す複素数を解にもつ4次方程式についての問題です。 図形的な意味合いと式的な意味合いを結びつける力も要求され、総合的な力が問われています。 (1) はなまじ形がキレイな結論であるため、逆にアタフタするかもしれませんが、冷静に沈めたいところです。 (2) は \(p\) ,  \(q\) ,  \(r\) ,  \(s\)  を解 \(\alpha\) ,  \(\beta\) の情報を含む \(t\) ,  \(u\ ...

2023/3/21

2023年度 北海道大学理系第1問【複素数平面上の図形列】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 複素数平面上で帰納的に定まる図形の列について考える問題です。 試しに \(C_{1}\)から \(C_{2}\) を作ってみると、構造や要領がつかみやすいと思いますし、 それができるなら \(C_{n}\)から \(C_{n+1}\) を作るのもできるはずです。 変換の意味を考えてみると、 \(\displaystyle \frac{1}{2}\) 倍縮小&平行移動 で、半径がどんどん半分になっていく円であることは想像できる人にはできるのでし ...

2023/3/14

2023年度 九州大学理系第1問【相反方程式と複素数平面における三角形の形状決定】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 相反方程式と、複素数平面における三角形の形状決定問題です。 相反方程式とは、 係数が外側から左右対称になっている方程式 のことで、特有の捌き方をするテーマ性のある話題です。 知識的側面が強いですが、難関大を目指すにあたっては準備していて然るべき定番の話題とも言えます。 相反方程式については を参考にしてください。 (2) の複素数平面における三角形の形状決定問題については、\(\alpha\) ,  \(\beta\) ,  \(\gamma ...

2023/3/11

2023年度 東北大学理系第4問【1の5乗根に関する論証】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(1\) の \(5\) 乗根に関する論証問題です。 \(1\) の \(5\) 乗根に関する整式の問題は今年の京大でも出題がありました。 (1) で \(\alpha\) が \({\alpha}^{4}+{\alpha}^{3}+{\alpha}^{2}+{\alpha}+1=0\) を満たしていることが分かりますから、\({\alpha}\) が \(1\) の \(5\) 乗根であることを見抜くのは、東北大受験生であれば無理はありま ...

2023/1/31

複素数の2乗とピタゴラス数【2020年度 千葉大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) とてもシンプルな題意ですが、見かけとは裏腹にとっかかりが見えにくい難問です。 「逆ならいえるのに」という類の問題で論証色が強いため、傷がないように話を進めるとなると神経も使います。 千葉大の整数問題は割と本格的な問題も多いため、試験場では取捨選択も含めた判断がいるでしょう。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 路線1:有理数の設定 ひとまず、 \((a+bi)^{2}=(a^{2}-b^{2})+2abi ...

2022/3/19

2022年度 大阪大学 理系第1問【1次分数変換】【アポロニウスの円】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 1次分数変換による点の軌跡を求める定番の話題です。 手元に \(|z-\displaystyle \frac{3}{2}|=r\) という \(z\) を縛っている式があります。 この状況で、\(w\) を縛っている式を Get したいわけです。 \(z\) ,  \(w\) の関係式である \(z+w=zw\) という式から \(z=w の式\) という形にして、先ほどの \(|z-\displaystyle \frac{3}{2}|=r\ ...

2022/3/17

2022年度 名古屋大学 理系第3問【正六角形の頂点と複素数の対応】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 3つの複素数 \(\alpha\) ,  \(\beta\) ,  \(\gamma\) が正六角形の頂点のどれかと対応しており、その対応を考える問題です。 どれがどれに対応するかを求めるという一見面食らう設定ではありますが、適切な誘導がありますから、うまく誘導に乗って走り切りたいところです。 (1) は \(4{\alpha}^{2}-2\alpha \beta+{\beta}^{2}=0\) の両辺を \({\alpha}^{2}\) で ...

2022/3/13

2022年度 北海道大学 理系第5問【複素数平面の各種基本】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 複素数平面における標準的な問題です。 複素数平面からの出題は2018年度以来です。 不気味なぐらい基本的な難易度であり、今年の北大のセットでは落としてはならない問題です。 確保するのは前提としたうえで、どれだけ時間的余裕を捻出できるかという次元の問題だと思います。 円の方程式 垂直二等分線 図形の交点 ド・モアブルの定理 という基本事項がバランスよく入っており、さらに捻った要素もほぼないため、これら基本事項の単純運用で解決してしまいます。 来 ...

2022/1/19

格子点同士を結ぶ2線分のなす角度【2004年度 一橋大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 格子点同士を結ぶ2つの線分のなす角について考察する問題です。 例題は実戦要素が強く、 2直線のなす角の扱い 整数問題の捌き方 が問われてきます。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む 座標平面上での角度の処理 \(\angle{\mathrm{BAC}}\) という座標平面上で角度を扱おうと思うと 座標における角度の扱い ベクトルの内積を用いて \(\cos{ \ }\) として処理する 傾きと \(\tan{ \ }\ ...

2021/12/26

点列の極限【雷紋問題】【1998年度 日本女子大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 進行方向に関する決まったアルゴリズムによって定まる点列を扱う問題で、この分野の定番問題の一つです。 イメージとしてラーメンの器にある のようなクルクルした動きのイメージです。 このラーメンの器の模様はどうやら雷紋と呼ばれているようで、勝手に雷紋問題と呼ばせてもらうことにします。 迷路のような形で悪霊が道に迷うとのことで、古くから中国で魔除けの模様として使われていたようです。 本問、及びそれに準ずる話題の問題については今日以降道に迷っていてはい ...

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