2023年度大阪大学理系 各解説記事
2023年度 大阪大学理系第１問【メルカトル級数に関する極限】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 見た目で怯んでしまう人が多そうです。 重い数Ⅲをよく出題する阪大ですが、本問は計算量そのものはそこまで大変ではありません。 メルカトル級数 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle \frac{(-1)^{k-1}}{k}=\log{2}\) という有名な級数に関する類題経験があると、(1) の活用法が見えやすくなります。 この分野は特に現役生が苦手意識をもったまま試験当日を迎えやすい ...
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2023年度 大阪大学理系第２問【平面ベクトルと点の存在範囲】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 目がチカチカして一見怯んでしまいそうですが、一皮むいてしまえば標準的な内容です。 試験場で解けなかった人からすると、あとから解答を見て なんでこれができなかったんだ と唇を噛むタイプの問題です。 指導者レベルの経験値をもった人であれば当たり前に感じてしまう工夫なのですが、受験生レベルだと（ましてや試験場だと）アタフタするかもしれません。 本問は文系第３問との共通問題でした。 文系の受験生だと一皮が分厚く感じるでしょうが、阪大理系受験生であれば ...
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2023年度 大阪大学理系第３問【曲線外の点から引いた接線の本数】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 曲線外の点から接線が何本引けますかという定番のテーマであり、類題経験は阪大受験生であればあって然るべきでしょう。 なので、方針面で困ることがあってはなりません。 ただ、処理面で手が止まってしまう受験生は少なくないでしょう。 \((t \ , \ \cos{t})\) における接線の式を立て , それが \((a \ , \ b)\) を通るように仕組むことになります。 すると、 \(b=(t-a)\sin{t}+\cos{t}\) という等 ...
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2023年度 大阪大学理系第４問【座標空間における点の軌跡】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(xz\) 平面上の点 \(\mathrm{A}\) と、\(xy\) 平面上の点 \(\mathrm{P}\) を結ぶ直線を原点を通るように垂直に切った平面 \(\alpha\) と、その切り口である点 \(\mathrm{Q}\) を考えます。 お絵描きが中々難しいですが、完ぺきに律儀な図を書かなくても、必要な情報さえ抽出できればよいでしょう。 (1) は式的に攻めるか、図から攻めるかという２路線が考えられますが、ある程度ラフな絵でも情 ...
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2023年度 大阪大学理系第５問【サイコロの目によってできる数が７で割り切れる確率】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） サイコロの目によってできる数 \(b_{n}\) が \(7\) で割り切れる確率を求める問題です。 実験的な設問もあり、今年のセットの中では比較的標準の難易度の問題であるため、できれば確保したいところです。 \(b_{n+1}=a_{1}b_{n}+a_{n+1}\) という関係式から、\(a_{1}b_{n}\) を \(7\) で割った余りに応じて、\(n+1\) 回目の目である \(a_{n+1}\) の目が 1 つ決まるということに ...
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と、形式に変更はありません。
分野的トピックス
第１問：極限・積分法（Ⅲ）
第２問：平面ベクトル
第３問：微分法（Ⅲ）
第４問：空間ベクトル
第５問：確率・数列
数Ⅲの比重が大きい阪大ですが、今年は２題でした。
また、ベクトルの問題が２題あったのも特徴的でした。
各大問について
第１問（標準）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
メルカトル級数に関連する極限の問題です。
不等式証明からの極限計算ということで、最後は「はさみうちの原理」で仕留めるというオチは見えることと思います。
- (1) の真ん中の項の計算において、等比数列の和と見る部分
- (2) の \(\log{2}\) が \(\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{1}{1+x} dx=\log{2}\) というように定積分を通じて得られること
を看破する部分が山場です。
これについては類題経験がモノを言う部分も大きく左右されます。
問題の難易度自体は標準と言ってよいと思いますが、この分野は現役生が苦手で、ここまで仕上げ切れていない現役生も一定数います。
逆に言えば、ここまで仕上げられると差をつけられます。
第２問（標準）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
見かけが仰々しいため、一見身構えますが、中身は標準的な内容の問題です。
随所随所で同じ形がいますので、
ということができれば、完答も無理ではありませんが、試験場補正はかかりそうです。
第３問（やや難）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
接線が何本引けますかというよくある定番のテーマです。
内容自体はよくある話題であるため、方針面で困ることがあってはいけませんが、処理面で指を噛みだす受験生が多いと思います。
恐らく、\((t \ , \ \cos{t})\) における接線の式を立てて、それが \((a \ , \ b)\) を通るとして
\(b=(t-a)\sin{t}+\cos{t}\)
という等式を得て、これを満たす \(t\) が \(-\pi \leq t \leq \pi\) の範囲に 4 個あってほしいという部分までは行き着くと思いますし、行き着いてほしいところです。
この後、右辺を \(f(t)\) として
- \(y=f(t)\) と \(y=b\) のグラフの交点が４個あればよい。
としますが、
\(f'(t)=(t-a) \cos{t}\)
を得たあたりで雲行きが怪しくなった受験生が多くいたことと思います。
この後の処理は、特別難しい発想はしないものの、スタミナが要求されます。
第４問（やや難）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
空間座標におけるある点の軌跡を考える問題です。
軌跡の方程式を得る元となりそうな関係式が (1) にあります。
この (1) はある程度ラフでもいいのでお絵描きしてみると、当然と思える内容なのですが、幾何の弱点である
- あなたの絵ならばそれでいいかもしれないけど、その絵になるとは限らないんじゃないの？
という突っ込みに耐えうる答案として仕上げる必要があります。
それを嫌うのであれば、式的に示すことになります。
(2) は (1) の関係式を利用して軌跡の方程式をゲットするという流れは読み取れると思いますが、計算面で苦労するでしょう。
計算の筋が悪いと収拾がつかなくなりかねないので、試験場では余計に平常心を奪われると思います。
第５問（標準）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
今年のセットでは標準的な内容で、これを確保していると心強いでしょう。
実験的な設問を通じて、確率漸化式に走れるかどうかです。
\(b_{n+1}=a_{1}b_{n}+a_{n+1}\)
という関係式から、\(a_{1}b_{n}\) を \(7\) で割った余りに応じて、\(n+1\) 回目の目である \(a_{n+1}\) の目が 1 つ決まるということになります。
感覚としては双六に近いものがあり、
- 直前にどこにいるかに応じて、ゴールを狙える目が１つある
という感覚で見ることになります。
ただ、試験場補正もそれなりにかかると思いますので、差が生まれる問題だと思います。
なお、2013年の一橋大に類題があります。
そちらは個別解説記事で紹介していますので、ご確認ください。
全体的に
昨年 (2022年) は５題全てが典型テーマという驚きのセットであり、それに比べると今年 (2023年) のセットは
やや難化
と言えますが、以前の水準に戻ったという感覚です。
完答が現実的な問題としては、第２問、第５問あたりでしょう。
類題経験があれば第１問も確保したいリストには入ってきます。
第３問、第４問は方針面ではある程度目途が立つものの、処理面でドタバタして
という方針面そのものに疑問を抱き、自信を失うという怖さがあることでしょう。
現実的には２完できれば御の字で、１完でも希望を捨てる必要はないというセットだと思います。
また、阪大は比較的重めの計算が特徴的でもあります。
方針は立っても、それを処理しきるとなると別問題という第３問、第４問はそれを象徴するような問題でした。
普段の学習から、計算面をおろそかにしないという教訓になるセットであり、今後の受験生の皆さんは糧にしてほしいと思います。
2023年度大阪大学理系 各解説記事
2023年度 大阪大学理系第１問【メルカトル級数に関する極限】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 見た目で怯んでしまう人が多そうです。 重い数Ⅲをよく出題する阪大ですが、本問は計算量そのものはそこまで大変ではありません。 メルカトル級数 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle \frac{(-1)^{k-1}}{k}=\log{2}\) という有名な級数に関する類題経験があると、(1) の活用法が見えやすくなります。 この分野は特に現役生が苦手意識をもったまま試験当日を迎えやすい ...
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2023年度 大阪大学理系第２問【平面ベクトルと点の存在範囲】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 目がチカチカして一見怯んでしまいそうですが、一皮むいてしまえば標準的な内容です。 試験場で解けなかった人からすると、あとから解答を見て なんでこれができなかったんだ と唇を噛むタイプの問題です。 指導者レベルの経験値をもった人であれば当たり前に感じてしまう工夫なのですが、受験生レベルだと（ましてや試験場だと）アタフタするかもしれません。 本問は文系第３問との共通問題でした。 文系の受験生だと一皮が分厚く感じるでしょうが、阪大理系受験生であれば ...
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2023年度 大阪大学理系第３問【曲線外の点から引いた接線の本数】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 曲線外の点から接線が何本引けますかという定番のテーマであり、類題経験は阪大受験生であればあって然るべきでしょう。 なので、方針面で困ることがあってはなりません。 ただ、処理面で手が止まってしまう受験生は少なくないでしょう。 \((t \ , \ \cos{t})\) における接線の式を立て , それが \((a \ , \ b)\) を通るように仕組むことになります。 すると、 \(b=(t-a)\sin{t}+\cos{t}\) という等 ...
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問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(xz\) 平面上の点 \(\mathrm{A}\) と、\(xy\) 平面上の点 \(\mathrm{P}\) を結ぶ直線を原点を通るように垂直に切った平面 \(\alpha\) と、その切り口である点 \(\mathrm{Q}\) を考えます。 お絵描きが中々難しいですが、完ぺきに律儀な図を書かなくても、必要な情報さえ抽出できればよいでしょう。 (1) は式的に攻めるか、図から攻めるかという２路線が考えられますが、ある程度ラフな絵でも情 ...
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2023年度 大阪大学理系第５問【サイコロの目によってできる数が７で割り切れる確率】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） サイコロの目によってできる数 \(b_{n}\) が \(7\) で割り切れる確率を求める問題です。 実験的な設問もあり、今年のセットの中では比較的標準の難易度の問題であるため、できれば確保したいところです。 \(b_{n+1}=a_{1}b_{n}+a_{n+1}\) という関係式から、\(a_{1}b_{n}\) を \(7\) で割った余りに応じて、\(n+1\) 回目の目である \(a_{n+1}\) の目が 1 つ決まるということに ...
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