方程式・不等式・関数系

難易度について

A:試験場においては確実に確保したいレベル(易)
B:典型問題、及び定石的解法の範疇で完答が狙える、もしくは要求される発想が基礎学力があれば無理のないレベル(やや易)
C:一部思考力や考察力を要するポイントを含むが、演習経験、あるいは適切な誘導によって完答を狙えるレベル(標準)
C+:Cレベルの問題であるが、計算が大変だったり、記述がしにくかったり、特定の分野で弱点があると完答できない、経験がないと思いつくのが困難な発想を要求される、など完答を阻む要素が多い問題(標準~やや難)
D:思考力や考察力を要するポイントを含み、機械的なパターン学習では太刀打ちできない問題で、多くの受験生にとって試験場での完答が難しいであろう問題(やや難~難)
E:受験生が制限時間内に完答するのは極めて困難なレベル(難)

 

1998年度 大阪府立大学

難易度:C+
対偶の威力【1998年度 大阪府立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 2次不等式の運用に関しての問題ですが、まともにぶつかると泥沼に嵌まる可能性が十分にあります。 一度は泥沼に嵌まるのも悪くはないです。 そ ...

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2016年度 三重大学

難易度:C+
有理数に関する論証【うまい見方と、見れなかった場合のリカバリー】【2016年度 三重大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   有理数、無理数に関する論証は、証明問題であれば結果が分かっているのですが、真偽から判定させるような問題であると判断ミス一つ ...

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1973年度 名古屋大学 1982年度 岐阜大学 2001年度 東京大学

難易度:C+
離散量の不動点定理【1973年度 名古屋大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 離散量の不動点定理と呼ばれる有名な話題を扱います。 計算自体はほとんどありません。 構造を見抜く目と、それを記述しまとめる力が求められま ...

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1991年度 東京大学

難易度:C+
存在命題と全称命題【1991年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 有名な難問であり、多くの上級参考書にも収録されています。 色々な上級テーマが含まれており、一つ一つは難関大を目指すうえで糧となるポイント ...

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2004年度 東京電機大学

難易度:C
2次関数の決定【頭の柔らかさを試す】【2004年度 東京電機大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 2次関数の決定問題で、テーマとしては基礎的な部類に入ります。 本問はその中でも洞察力を要する良問です。 解ける人からすればなんてことはな ...

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1964年度 横浜国立大学

難易度:C+
サイクリックな形の2次関数の最大値【1964年度 横浜国立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(a\) ,  \(b\) ,  \(c\) についての対称性(巡回性)をもった2次方程式、2次関数の最大値について考える問題です。 ...

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1989年度 関西大学

難易度:C
ラグランジュの補間法【1989年度 関西大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) ラグランジュの補間法に関連する問題を扱ってみます。 一見するとゴッツい形になりますが、中身を見て見ると心地よさを感じる内容です。 (以下 ...

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1981年度 学習院大学

難易度:D
補間多項式の考え方【マルコフの不等式】【1981年度 学習院大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) マルコフの不等式と呼ばれる次の定理 マルコフの不等式 \(f(x)\) を高々 \(n\) 次の整式とする。 \(-1 \leq x \ ...

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1993年度 高知大学 2008年度 一橋大学 1997年度 東京大学

難易度:C+
定義域が整数の2次関数【1993年度 高知大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 定義域が整数である2次関数に関する問題を扱います。 とびとびの整数を代入してできる値だけを考えることになるため、実数の問題の態度とはまた ...

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有名問題

難易度:C
三角形の成立条件と判別式【覚えるべき部分とその場で判断する部分の線引き】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) なめてかかると火傷するタイプの問題です。 「判別式とるだけだろ?なめんなよ」 と威勢よく取り組みだすと、だんだん青ざめていく人が増えてい ...

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1993年度 東京都立大学

難易度:C+
対称性についての難問【消去する文字の判断】【1993年度 東京都立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 対称性について考えさせられる問題です。 対称性を見落とさないことは数学において非常に大事な着眼点の一つです。 本問は一見対称性があるよう ...

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2003年度 大阪市立大学 2005年度 京都大学

難易度:C
解の配置問題【左辺と右辺の組み換え】【2003年度 大阪市立大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 2次方程式の解に関して注文が入る「解の配置問題」と呼ばれる問題です。 その中でも今回扱うのは 「少なくとも1つ」 というタイプです。 こ ...

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2006年度 中京大学

難易度:C
2次不等式の整数解【両端が動く】【2006年度 中京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 2次不等式の解の中に含まれる整数の個数について考える問題です。 単元学習の段階では、2次不等式の解の両端のうち、片側が具体的な数値である ...

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1982年度 関西大学

難易度:C
2次方程式と定積分の論証【1982年度 関西大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 個人的に大好きな問題です。 急所に辿り着くと一気に話が進んでいきます。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続 ...

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2000年度 慶応義塾大学

難易度:C
相反式に関する不等式証明【2000年度 慶應義塾大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(x\) と \(\displaystyle \frac{1}{x}\) の対称式を相反式と言い、相反式に関する不等式証明の問題です。 ...

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2000年度 早稲田大学

難易度:C
抽象的な関数の不等式【2000年度 早稲田大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(f(x)\) が具体的に与えられていない中で、不等式を解かせるという問題です。 根拠として使用してよいことと、マズイことがしっかり分 ...

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2005年度 早稲田大学

難易度:B
高次方程式と因数定理【2005年度 早稲田大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 高次多項式に関する求値問題で、難易度としては基礎寄りの基本問題です。 因数定理の運用に関する問題としては適度な難易度であり、ポイントが絞 ...

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1997年度 文教大学

難易度:C
多項式の剰余問題【重解型】【1997年度 文教大】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 多項式を多項式で割ったときの余りについて考える問題で、話題としてはよくあるものです。 その中でも「重解型」という差が付くトピックスを取り ...

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1999年度 防衛大学 1968年度 大阪大学

難易度:C
合成関数と割り算【複2次式の割り算とその発展】【1999年度 防衛大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 題意はすぐに読み取れるでしょう。 例題に関しては正直煮るなり焼くなり色々 ...

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2011年度 日本女子大学 1994年度 奈良女子大学

難易度:C
不動点を利用した合成方程式【f(f(x))=x の解】【2011年度 日本女子大ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 合成関数が絡んだ高次方程式を解く問題です。 誘導があるため、難易度としては標準と言ってもよいでしょう。 場当たり的に雰囲気で解けてしまっ ...

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1976年度 信州大学

難易度:C
2乗した関数と合成関数の恒等式【関数方程式】【1976年度 信州大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 2乗した関数と、合成関数が恒等式となるような整式 \(f(x)\) を求めるという問題で、 この関係式を満たす \(f(x)\) なぁ~ ...

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1960年度 神戸大学

難易度:C
様々な関数方程式【1960年度 神戸大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 数学では珍しい一問一答的な問題です。 ただ、その中でも 特徴的な形を見逃さない 特徴を抽出する という力を養ううえでいい訓練になると思い ...

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2011年度 名城大学

難易度:C
相反方程式【解き方の確認と周辺知識の足固め】【2011年度 名城大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 係数が左右対称となっているような方程式を 相反(そうはん)方程式 と言います。 ノーヒントかつ初見だとアタフタしますが、大抵誘導がついて ...

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2008年度 東北大学

難易度:C
相反多項式【関数方程式への対応】【2008年度 東北大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   見た目は「これ満たす \(f(x)\) なぁ~んだ」という「関数方程式」です。 (1) で、この \(f(x)\) が高々 ...

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2004年度 公立はこだて未来大学

難易度:C
未知数の個数と条件式の個数【2004年度 公立はこだて未来大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 未知数が3個に対して、条件式が2つですから、一見すると条件式の個数が足りず焦るかもしれません。 本問を解ききれるかどうかは、観察力などに ...

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2009年度 東北大学

難易度:B
等式・不等式の証明【差がつく有名な形】【2009年度 東北大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     等式・不等式の証明問題の問題として、本問は要点が凝縮されています。 そのためか練習問題として様々な問題集に収 ...

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1997年度 島根大学

難易度:B
2次同次式の不等式証明【次数に注目】【1997年度 島根大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 条件付きの不等式証明の問題ですが、見かけほど簡単ではないでしょう。 基本レベルだとは思いますが、スジが悪いと右往左往しかねない要素もあり ...

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2017年度 立正大学 2007年度 和歌山県立医科大学

難易度:C
チェビシェフの不等式【2017年度 立正大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) チェビシェフの不等式と呼ばれる有名不等式を背景にもつ問題です。 例題の ...

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2003年度 和歌山県立医科大学 1998年度 大阪市立大学

難易度:C+
イェンゼンの不等式【証明】【2003年度 和歌山県立医科大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) イェンゼンの不等式と呼ばれる有名な不等式に関する証明問題です。 例題は具体的な関数で、文字数が (1) 2文字&2文字 (2) 3文字& ...

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1991年度 京都大学

難易度:C+
tanに関する不等式証明【相加平均と相乗平均の間】【1991年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(\mathrm{tan}\) に関する不等式証明であり、「平均値の代入値」が \(\tan{a}\) と \(\tan{b}\) の ...

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1997年度 愛媛大学

難易度:C+
不等式の証明【n変数の不等式】【1997年度 愛媛大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   \(n\) 個の数 \(x_{1}\) , \(x_{2}\) , \(\cdots\) , \(x_{n}\) に関する ...

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2002年度 名古屋大学

難易度:C
累乗根と大小比較【2002年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 5乗根に関する数の大小比較の問題です。 目に付いた特徴によって様々な解法が考えられるあたりが面白いところです。 結論自体に辿り着くことは ...

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マニアック

難易度:D
シャピロの巡回不等式【n=4のときの証明とその応用】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 難問です。 誘導があれば別ですが、今回は敢えて誘導なしで考えてみてほしいと思います。 ノーヒントで出題する大学があれば、鬼舞辻以上の鬼で ...

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1987年度 早稲田大学

難易度:B(C)
いずれかが成り立つ不等式【1987年度 早稲田大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(A \geq n\) ,  \(B \geq n\) の少なくともどちらかは成り立つということを証明するという問題です。 方針面で「 ...

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2004年度 岡山大学

難易度:C+
3次方程式の解の絶対値【2004年度 岡山大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) ある一定以上の「確かな力」がないと、色々振り回される問題です。 ただ、いたずらな難問ではなく、戦略的に見通しを立てる力を鍛える題材として ...

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2009年度 神戸大学 1997年度 早稲田大学 2009年度 筑波大学

難易度:C
3次方程式の解の巡回【2009年度 神戸大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(x^{3}-3x+1=0\) という3次方程式の解が \(x^{2}-2\) という2次関数を用いてグルグル巡回するという面白い話題 ...

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1975年度 早稲田大学 2004年度 東京学芸大学

難易度:C(類題3は難易度:D)
n次方程式の解の限界【掛谷の定理】【1975年度早稲田大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題 ...

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1999年度 京都府立医科大学

難易度:C+
2本の対称軸をもつグラフ【1999年度 京都府立医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 対称軸を2本もつグラフについて考察させる問題です。 このような論証に慣れていない受験生も多いことでしょう。 感覚的には「そりゃそうだよな ...

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1981年度 高知医科大学

難易度:C+
最短経路に関する応用問題【1981年度 高知医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 最短経路に関する問題は大抵の場合 場合の数・確率 の分野の問題です。 本問は最短経路に関する場合の数ではなく、最短経路を題材として式の扱 ...

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2003年度 慶応義塾大学

難易度:C+
3文字の対称式の値【2003年度 慶應義塾大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 3文字の基本対称式の値から、4乗和と5乗和という対称式の値を導出するという内容です。 なめてかかると、5乗和の方で「ん?」となるかもしれ ...

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2007年度 愛媛大学

難易度:C+
対称式についての論証【基本対称式の符号】【2007年度 愛媛大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 基本対称式についての符号についての論証問題です。 符号だけでなく、整数問題の要素も含めたオチまである欲張りなセットです。 キレイな結果と ...

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2009年度 東北大学

難易度:C
カルダノの公式【汚く見える数の正体が整数】【3次方程式の解の公式】【2009年度 東北大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     一見複雑に見える数が、実はシンプルな数でした、ということを示す問題で、背景には3次方程式の解の公式(カルダノ ...

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2008年度 横浜市立大学 2015年度 名古屋大学

難易度:C(類題はC+)
4次方程式の解法【オイラーの手法】【2008年度 横浜市立大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 元々4次方程式の解法についてはフェラーリの方法が有名ですが、今回はオイラーさんにスポットが当たっています。 4次方程式の解法について 「 ...

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2011年度 大分大学

難易度:C
コーシー・シュワルツの不等式の証明【示すべき形から方針を決定する】【2011年度 大分大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   コーシー・シュワルツの不等式と呼ばれる有名不等式です。 今は範囲外ですが、行列という分野の中で「ケーリー・ハミルトンの定理 ...

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2002年度 名古屋大学

難易度:C+
等式の扱いと文字消去【2002年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 中々の強面です。 与えられた関係式そのものも強面ですが、「存在条件」というのもパッと見でこわいものがあるでしょう。 そもそも問題文の意味 ...

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1998年度 鹿児島経済大学ほか

難易度:C+
不等式から文字を消去する技巧【名前をつけて等式化】【1998年度 鹿児島経済大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 等式と不等式とどちらが扱いやすいかと言えば、等式の方が扱いやすいと感じる人が多数派でしょう。 今回、不等式を等式の話にすることで、話を明 ...

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2018年度 早稲田大学

難易度:C
上二桁の値【最高位の数字の次の値】【2018年度 早稲田大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 桁数、最高位の数字、1の位など、このあたりは定番の話題ですが、本問はそれに加えて 最高位の次の数字 を聞いています。 一見面食らうかもし ...

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1989年度 金沢大学

難易度:C
桁数問題【イレギュラーへの対応】【1989年度 金沢大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   桁数に関する問題です。まずは教科書レベルの基本的な桁数問題を通じて、常用対数の運用の仕方をきちんと学習する必要があります。 ...

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2004年度 早稲田大学 1994年度 上智大学

難易度:C(類題は難易度:C+)
2の累乗の最高位の数【2004年度 早稲田大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 2 の累乗に関して最高位の数について考察する問題です。 桁数問題と併せて最高位の数についても問われることが多いのですが、今回は2の累乗に ...

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1988年度 名古屋大学

難易度:C+
ポンスレの閉形定理【放物線上の3点によってできる三角形の内接円】【1988年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     問題を読んでみると、「えっ、マジ?」と言いたくなる結果です。 まぁそれもそのはずで、「ポンスレの閉形定理」と ...

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2015年度 大阪市立大学 2017年度 埼玉大学

難易度:C+
放物線と円の共有点の個数【方程式の解の意味】【2015年度 大阪市立大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 放物線と円の共有点の個数について直球で訊いている問題です。 放物線と円の共有点については結構ウルサイので、場当たり的になってしまうことも ...

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2011年度 立命館大学

難易度:C+
放物線の交点による四角形の対角線【2011年度 立命館大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 放物線の交点によってできる四角形の対角線の方程式を求めるという問題です。 まともにカチ合うと茨の道であることは目に見えると思います。 テ ...

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1988年度 大阪大学 1988年度 三重大学 2004年度 大阪大学

難易度:C
放物線に接する外接円【1988年度 大阪大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 放物線に接する外接円の列に関する座標と数列の融合問題です。 放物線と円が接するという状態をどのように捌いていくか それによって得られた数 ...

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2004年度 東京大学

難易度:C+
放物線上の3点による正三角形【座標平面における角度の扱い】【2004年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   2004年度の東京大学理系第1問です。 本問は見た目からするとシンプルな問題なのですが、意外と手こずる相手です。 厄介なこ ...

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2002年度 名古屋大学

難易度:C
内積と軌跡【軌跡の範囲】【2002年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 本問の料理名は 軌跡のベクトル風味仕立て~範囲のスパイスとともに~ でございます。 定番の味付けの中に、ピリッとアクセントの効いた味わい ...

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2008年度 東京大学

難易度:C+
定点からの見込む角が等しくなる点の軌跡【2008年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 定点 \(\mathrm{A}\) ,  \(\mathrm{B}\) ,  \(\mathrm{C}\) が与えられ、 \(\angl ...

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1991年度 東北大学

難易度:C+
円に内接する正方形の頂点を通る3次曲線【対称性を活用する】【1991年度 東北大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   一般性が高い設定のため、文字数が多く、処理をうまくやらないとグチャグチャになってしまいます。 一方で対称性も高い設定ですか ...

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1989年度 東京大学

難易度:D
y=xについて対称な2曲線【式で攻めるか、図で攻めるかの判断】【1989年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   シンプルな問題です。 こういう問題はいったん手が止まってしまうと、ムキになって冷静さを失いかねませんから、試験場だと難易度 ...

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2019年度 琉球大学   2004年度 中部大学   2019年度 名古屋市立大学   1994年度 福井医科大学

難易度:B  (4) のみD
三角関数に関する方程式の扱い【置き換え型、合成型、中身比べ型】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   三角関数に関する方程式について、代表的な処理から、少し凝ったものまで扱います。   三角関数における式変形の指針 ...

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1994年度 東京理科大学

難易度:C+
三角関数の連立方程式【1994年度 東京理科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 見かけ上、従属2変数関数の最大・最小問題に見えます。 実際には、薄皮一枚剥ぐと、「三角関数の連立方程式の運用」という部分がメインの処理内 ...

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2009年度 琉球大学 1989年度 神戸大学

難易度:C
三角関数の対称式【ノーヒントで解ききる】【2009年度 琉球大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 三角関数に関する対称式の問題です。 方針自体は (1) で立式し、(2) でその立式した式の最大最小を考える というシンプルな流れです。 ...

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2013年度 お茶の水女子大学

難易度:B
角度の評価【2013年度 お茶の水女子大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(\tan{ \ }\) の値が与えられ、その角度に関する評価を考える問題です。 先日 という \(\cos{ \ }\) の値に関す ...

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2008年度 首都大学東京(東京都立大学)

難易度:B
sinの和とcosの積【和積公式の運用】【2008年度 首都大学東京】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 「おっ?」と思うような見た目と構成をしていますが、中身は三角関数の諸公式の運用を試す基本的な問題です。 特に (2) は割と有名な等式で ...

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1994年度 和歌山大学

難易度:C
sinの和【導出過程から応用例まで】【1994年度 和歌山大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \sin{k\theta}\) について考える問題で、テーマとしては比較的 ...

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1971年度 富山大学

難易度:C
ラグランジュの三角恒等式【ド・モアブルの定理の応用】【1971年度 富山大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 三角関数の和の導出について考える問題です。 少し古い問題ですが、今回の話題を扱うにあたりよい例題ということでもってきました。 (以下ネタ ...

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2006年度 1997年度 京都大学

難易度:C+
tan1°は有理数か【sin1°とcos1°についても考える】【2006年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 言わずと知れた伝説の問題です。 出題された当時、大きく話題になりました。 通常シンプルな問題というのは振り切った難問になりがちですが、本 ...

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2005年度 京都大学

難易度:C+
三角形の内角に関する不等式【cosα+cosβ+cosγ≧1】【2005年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 三角形の内角に関する不等式で、シンプルな題意です。 解法も様々考えられ、京大らしい問題だと思います。 試験場では愚直に解くのが現実的です ...

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1966年度 金沢大学

難易度:C+
三角形の内角のtanの和【1966年度 金沢大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 非常にシンプルな問題です。 切れ味鋭く捌くこともできますし、腕力で押し切ることもできます。 いずれの路線にせよ、確かな力が必要です。 類 ...

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2010年度 埼玉大学

難易度:C
式の個性【式の形のもつ意味について考える】【2010年度 埼玉大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     見た目は座標平面の円に関する問題に見えますが、とるべき解法によって見た目の分野とは違う分野の処理が必要になっ ...

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2001年度 岡山大学

難易度:C+
図形量の最大最小【正三角形の第1象限の部分の面積の最大最小】【2001年度 岡山大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   シンプルな問題です。 しかし、やってみれば分かると思いますが、結構スタミナが必要です。 解き終わった感想としては、 決して ...

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2008年度 九州大学 1995年度 お茶の水女子大学 1982年度 東京工業大学

難易度:C+
求められない角度の評価【2008年度 九州大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 求め ...

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2011年度 群馬大学

難易度:C+
存在条件とその処理【斜辺の長さがa、面積がbとなる直角三角形】【2011年度 群馬大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   シンプルな問題ゆえに、とっかかりがつかめずに固まってしまう人もいるかと思われます。 まずは自分の中で進める部分まで進んで考 ...

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2010年度 産業医科大学

難易度:C+
絶対値付きのシグマによる関数【2010年度 産業医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     よく出てくるテーマです。 手を動かして実験してみると、難関大志望者なら、要領はつかめると思います。 頭の中で ...

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2018年度 福島大学  2016年度 立命館大学

難易度:C
従属2変数関数の最大最小【2018年度 福島大学】【2016年度 立命館大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     2変数関数の最大最小問題で、本問のように「それ自身が問題」ということもあれば、「問題を解く中で処理する必要が ...

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2009年度 群馬大学

難易度:C
絶対値に関する従属2変数関数【2009年度 群馬大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 絶対値に関する従属2変数関数の最大最小問題です。 従属2変数関数については などで色々取り扱ってはいます。 これまで身につけたノウハウが ...

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1999年度 京都大学

難易度:C+
三角関数の積の最大値【従属3変数】【1999年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) シンプルな問題ですが、多くの解法が考えられ、それぞれ色々な教訓を含んでいるので、一粒で何度もおいしい問題です。 どういう視点からこの問題 ...

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2016年度 1990年度 立命館大学

難易度:C+
同次式(斉次式)の扱いと絶対不等式としての処理【2016年度,1990年度 立命館大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   特徴のある式についてはその個性を活かした扱い方をします。 もちろん、そんな個性のある式はそんなに沢山あるわけではありません ...

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2000年度 鳴門教育大学 1995年度 東京大学

難易度:C
ルートに関する絶対不等式【解法の守備範囲】【2000年度 鳴門教育大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) ルートが絡んだ絶対不等式に関する問題です。 例題と類題を並べてみて、違い ...

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2005年度  東京理科大学 2019年度 北里大学

難易度:C
独立2変数の絶対不等式【2005年度 東京理科大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 1変数に関する絶対不等式をもとに、独立2変数に関する絶対不等式まで扱う問題です。 (1) は定番中の定番の話題で、(2) も学習を進めて ...

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2008年度 千葉大学

難易度:D
和のa乗とa乗の和【式の特徴を見抜けるか】【2008年度 千葉大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   \(a\) が自然数であれば \((x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})^{a} \geq x_{1}^{ ...

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2004年度 山口大学

難易度:C
ワイエルシュトラスの置換【三角関数のうまい置き換え】【2004年度 山口大学ほか】

  今回は「ワイエルシュトラスの置換」と呼ばれる有名な置換を用いた問題を扱います。   ワイエルシュトラスの置換とは ワイエルシュトラスの置換とは ワイエルシュトラスの置換 \(\ ...

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2006年度 島根大学ほか

難易度:C
2直線の交点の軌跡【文字消去が困難なときの工夫】【2006年度 島根大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 2直線の交点の軌跡というテーマ性のある話題です。 単元学習で軌跡を学習したばかりの状態でこのテーマに取り組むと、「あれ?」となる人が多い ...

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2009年度 横浜国立大学

難易度:C+
直線の通過領域、線分の通過領域【2009年度 横浜国立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 難関大頻出の話題である「通過領域」の問題の中でも、一番シンプルな「直線の通過領域」について考えます。 さらに、その延長にある「線分の通過 ...

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1994年度 東京都立大学

難易度:C+
円の弦の通過領域【2円の交点を結ぶ線分】【1994年度 東京都立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 円と円の交点を結ぶ線分の通過領域を求める問題です。 円 \(C\) は固定されていますが、円 \(C'\) の動きは点 \((1 \ , ...

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1992年度 千葉大学

難易度:C+
円を折り返した折り目の存在範囲【1992年度 千葉大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 円を折り返したときの折り目の存在範囲を考える問題です。 シンプルな題意ですが、解き進めていくといくつかの上級テーマが次から次へと襲い掛か ...

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2002年度 神戸大学

難易度:C
円の包絡線【2002年度 神戸大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 円に沿って動く接線の通過領域について考えるという問題です。 \(t\) の値によらず円に接しているという、強力な事実が先に与えられている ...

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2004年度 青山学院大学

難易度:C+
通過領域【式で追うか目で追うか】【2004年度 青山学院大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 2つの動点が関わる軌跡や通過領域について捉える問題です。 難易度についてははっきりと差が付くと思います。 何が難しいの?と思う人もいるで ...

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2018年度 東京大学

難易度:C+
放物線の平行移動による通過領域【2018年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 東大お得意の通過領域を絡めた問題で、「動くもの」をどのように数式として立式するかという運用力が求められます。 領域を出すだけでも一苦労な ...

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2002年度 一橋大学

難易度:C
線形計画法の問題をスマートに処理する考え方【2002年度 一橋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回、本問を通じて 線形計画法の問題に対するアプローチについて考えてみます。 今回、文字 \(a\) が入っているため、場合分けが発生す ...

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1992年度 大阪教育大学  1997年度 岐阜大学

難易度:C+
2変数の扱い【独立2変数編その2】【1992年度 大阪教育大】【1997年度 岐阜大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   独立2変数の扱いを学ぶ問題です。 本問は勉強している人ほど、沼にハマってしまいかねない問題です。   (以下ネタ ...

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1990年度 東京都立大学

難易度:C
2変数の扱い【独立2変数の扱いその1】【1990年度 東京都立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     不等式の証明形式で問いかけられていますが、結局左辺の独立2変数関数の最小値が5であることを言えばいいので、実 ...

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1990年度 横浜市立大学 2004年度 大分大学

難易度:C(類題はC+)
放物線上の4点によって作られる四角形の面積の最大【1990年度 横浜市立大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 放物線上の4点によって作られる四角形の面積の最大値を考える問題です。 すごくシンプルな問題に見えますが、完答するためには確固たる足腰が必 ...

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1997年度 名古屋大学

難易度:C
図形版予選決勝法【どちらの文字を先に固定するか】【1997年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) シンプルな問題です。 本問は試験場においては確保したいレベルの問題なのですが、確保するにしても手際の良さがわかれる要素を含んでいます。 ...

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1972年度 名古屋大学

難易度:D
予選決勝法と固定の方法【円上の2点を固定する工夫】【1972年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) シンプルな問題ですが、泥沼に嵌まりかねない問題です。 手なりに文字を設定すると \(A (\cos \alpha , \sin \alp ...

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1996年度 大分医科大学

難易度:D
3変数対称式の最大値【1996年度 大分医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 3変数の対称式に関する最大問題で、難問と言ってよいと思います。 今回の3変数は独立3変数なので、例えば、\(y\) と \(z\) を固 ...

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1999年度 和歌山大学

難易度:C+
大小比較と不等式証明【下る方向へ帰納的に考える】【実験と予想】【1999年度 和歌山大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   \(3^3+4^3+5^3=6^3\) を満たしているので、(1) は (2) の具体例です。 つまり  \(n=3\) ...

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1961年度 横浜国立大学

難易度:C+
無理方程式と論証【両辺2乗と同値性】【1961年度 横浜国立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) シンプルに無理方程式を解くという題意ですが、 バシッと完答できる アワワワとなって泡を吹く 実数解には辿り着けたが、論証面で傷を負う の ...

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2006年度 京都府立医科大学

難易度:C+
4次関数を2つの2次関数の合成で表す【2006年度 京都府立医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) オマージュ問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 一般性の高い4次関数を2つの2次関数の合成で表すということをテ ...

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2017年度 大阪大学

難易度:B
双曲線の接線【2017年度 大阪大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 双曲線の接線に関する基本問題です。 難易度面で言えば、基礎の位置づけになると思いますが、本問が主張する内容的な部分も味わってみると興味深 ...

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2010年度 東京理科大学

難易度:C
双曲線と幾何的性質【双曲線の各種基本】【2010年度 東京理科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 双曲線とその性質について確認する問題です。 本問は 双曲線の焦点についての導出 双曲線の幾何的な性質 双曲線と直線の連立と、その後の処理 ...

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2000年度 宇都宮大学

難易度:C
離心率【定点と定直線からの距離の比】【2000年度 宇都宮大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 2次曲線 ( 放物線、楕円、双曲線 ) の統一的な幾何的性質を象徴する「離心率」についてを考える問題です。 離心率の定義は以下のようにな ...

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2007年度 名古屋工業大学 2013年度 早稲田大学

難易度:C
放物線の焦点を通る直交2直線【2007年度 名古屋工業大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 放物線の焦点を通る直交2直線のもつ美しい性質を体感する問題です。 学習内容的には 極が原点でない場合の極座標の扱いと、極方程式の運用 斜 ...

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2009年度 鹿児島大学

難易度:C
楕円の法線と焦点【光学的性質の証明】【2009年度 鹿児島大学】

問題(改作)はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 楕円の法線と焦点に関する美しい比率に関する性質の問題です。 原題は次のようでした。 原題はこちら(画像をクリックするとPDFファ ...

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2007年度 北海道大学

難易度:C+
焦点を共有する楕円と双曲線の性質【楕円と双曲線の光学的性質】【2007年度 北海道大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 有名な2次曲線の性質の問題です。 背景には「楕円と双曲線の光学的性質」があります。   楕円の光学的性質   \(F ...

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2013年度 山梨大学

難易度:C+
直交2接線の交点の軌跡【放物線の準線】【2013年度 山梨大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 放物線に対する直交2接線の交点の軌跡を求めるという有名テーマです。 精力的に学習している人は結論を知っているでしょう。 今回はそのような ...

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2011年度 信州大学など

難易度:C+
直交2接線の交点の軌跡【楕円の準円】【2011年度 信州大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   楕円の準円と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、出典を挙げていくとキリがありません。 具体的な数値の場合も含めると多くの大学 ...

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1975年度 帯広畜産大学

難易度:C+
対称的な陰関数【1975年度 帯広畜産大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 複素数の見た目をしており、確かに前半は1の3乗根の基本性質の運用がメインの話題です。 (1) の結論を得て、(2) に取り掛かる際に「ム ...

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2000年度 群馬大学

難易度:C
積と和が等しい複素数の組【2000年度 群馬大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(xyz=x+y+z\) という関係式を満たす自然数の組を求めさせる問題は整数問題の典型問題としてよくありますが、複素数としての問題で ...

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2001年度 京都府立医科大学 2017年度 名古屋大学

難易度:C+
巡回群【2001年度 京都府立大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 巡回群を背景とした問題で、話の進め方は高校生ではあまり馴染みのないものです。 古典作品の観賞のつもりで楽しむぐらいの気持ちで取り組んでく ...

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2004年度 岡山大学 1998年度 北海道大学

難易度:C
複素数の実数条件と軌跡【2004年度 岡山大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 複素数の実数条件と、それを満たすような点 \(z\) の集合について考える問題です。 試験場で遭遇したと想定したら、確保したい標準的な難 ...

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2005年度 弘前大学

難易度:C
単位円上の複素数【条件をどう効かすか】【2005年度 弘前大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 単位円上にある複素数 \(\alpha\) ,  \(\beta\) ,  \(\gamma\) についての性質について考える問題です。 ...

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2000年度 東京工業大学

難易度:C+
複素数平面と観察眼【式の観察】【2000年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 複素数平面を題材とした不等式証明の問題です。 なまじ色々見える分、方針面で右往左往するかもしれません。 実際自分が解いたときもウロチョロ ...

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