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不等式の証明形式で問いかけられていますが、結局左辺の独立２変数関数の最小値が５であることを言えばいいので、実質的には最大最小問題です。
独立２変数関数の最大最小問題については「予選決勝法」が有力な方針です。
「１つを変数、他を定数」
これが予選決勝法のキーワードです。
step
1まず、他のもの（文字や点）を固定し、一つずつ動かしてそのときの最大（最小）を出す。
ここでは \(x , y\) の独立２変数関数の最小を例に出します。
例えば、\(y\) を固定して、\(x\) だけ動かしたときの最小値を求めます。
ここで得られるのは、
\(y=1\) のときの最小値、\(y=2\) のときの最小値、\(y=3\) のときの最小値、\(\cdots\)
といったような最小値「たち」です。
（これがいわば予選通過者で、\(y\) の式で与えられています）
step
2次に固定していたものの固定を外し、総合的な最大（最小）を出す。
strp 1 で得られた最小値たちの中の最小値を求めにいきます。
それはすなわち
\(y\) がどんな値のときの最小値が「king of 最小値」なのか
ということですから、先ほど固定していた \(y\) の固定を外して動かしていきます。
そのときの最小値こそ総合的な最小値ということになります。
さて、本問は形から相加平均・相乗平均の形も目につきます。
ただし、その場合ある工夫が必要になりますし、注意事項も多いです。
詳しくは解答の中で解説しています。
独立２変数関数の最大最小問題へのアプローチとして考えられる主な手法をまとめると以下のようになります。
比較対象として従属２変数関数の最大最小問題へのアプローチもまとめてみます。
これらに関しては繰り返し色々な問題を経験することで染み込ませたいところです。