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２次不等式の解の中に含まれる整数の個数について考える問題です。
単元学習の段階では、２次不等式の解の両端のうち、片側が具体的な数値であるものが例題として与えられることが多いと思います。
例題
\(a\) を定数とする。
\(2x^{2}-(a+2)x+a \lt 0\) を満たす整数 \(x\) が \(3\) 個となるような \(a\) の範囲を求めよ。
解答
題意の２次不等式は
\((x-1) (2x-a) \lt 0\)
(i) \(\displaystyle \frac{a}{2} \lt 1\) , すなわち \(a \lt 2\) のとき
\(\displaystyle \frac{a}{2} \lt x \lt 1\) であり、これを満たす整数が \(3\) 個であるとき、その整数は
\(x=-2\) , \(-1\) , \(0\)
よって \(-3 \leq \displaystyle \frac{a}{2} \lt -2\)
すなわち、\(-6 \leq a \lt -4\)
(ii) \(\displaystyle \frac{a}{2} \gt 1\) , すなわち \(a \gt 2\) のとき
\(1 \lt x \lt \displaystyle \frac{a}{2}\) であり、これを満たす整数が \(3\) 個であるとき、その整数は
\(x=2\) , \(3\) , \(4\)
よって \(4 \lt \displaystyle \frac{a}{2} \leq 5\)
すなわち \(8 \lt a \leq 10\)
以上から求める \(a\) の範囲は
\(-6 \leq a \lt -4\) または \(8 \lt a \leq 10\)
本問においては因数分解こそ
\((2x-a)\{x-(3a-2)\} \lt 0\)
とできますが、この２次不等式の解の両端の値に \(a\) が入ってきて厄介です。
（以下ネタバレ注意）