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桁数に関する問題です。まずは教科書レベルの基本的な桁数問題を通じて、常用対数の運用の仕方をきちんと学習する必要があります。
その上で本問はちょっとしたイレギュラーにも対応する力が問われる実践的な問題です。
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例えば、
\(3^{2021}\) の桁数を求めよ。
ただし、\(\log_{10} 3=0.4771\) とする。
という問題があったとします。
これについては、色々な書き方がありますが、
\(\log_{10}3^{2021}\)
\(=2021\times\log_{10}3\)
\(=2021\times0.4771\)
\(=964.2191\)
としたあとに
\(3^{2021}=10^{964.2191}\)
と見るのが後のことを考えるといいかなと思います。
\(a^{m}\) を \(10^{t}\) の形に直す
まず桁数ですが、\(3^{2021}=10^{964.2191}\) と直しているおかげで
\(10^{964} \lt 3^{2021} \lt 10^{965}\)
とすぐに挟めるため、965桁と即座に分かります。
また、桁数だけで終わることはあまりなく、セットで
\(3^{2021}\) について次の問いに答えよ。
(1) \(3^{2021}\) の桁数を求めよ。
(2) \(3^{2021}\) の最高位の数を求めよ。
ただし、\(\log_{10}2=0.3010\) , \(\log_{10}3=0.4771\) とする。
と、最高位の数を求める問題もあることが多いでしょう。
これについても、\(3^{2021}=10^{964.2191}\) と直しているおかげで
\(10^{0.2191}\times10^{964}\)
と分けて見るのが分かりやすいでしょう。
\(10^{0.2191}=☆.****\)
であれば、\(10^{964}\) というのは「小数点を右に964回動かす」だけですから最高位の数は☆と分かるわけです。
\(10^{0} \lt 10^{0.2191} \lt 10^{0.3010}\) ですから、\(1 \lt 10^{0.2191} \lt 2\) より、\(10^{0.2191}=1.****\) となりますから、\(3^{2021}\) の最高位の数は \(1\) であることが分かります。
さて、本問ですが、教科書などで学習する基本レベルの問題と比べると、少しイレギュラーな要素も入っており、対応力が問われるでしょう。
（以下ネタバレ注意）
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(1) , (2) は整数問題の分野の話です。
(1) は二項定理、帰納法、因数分解、など何が目についたかで様々な方針が考えられます。
(2)は \(224=2^{5}\cdot 7\) です。
\(N=2^{131}+2^{6}\cdot 3\) ですから、\(2^{5}\) の倍数であることは容易に分かります。
残るは 7 の倍数であることをどう示すかです。
力ずくで示すこともできますし、うまく工夫することもできますので、そこの部分は考えどころです。
(3) 、(4) が今回の桁数の話題ですが、「\(+192\)」という部分が邪魔に感じるでしょう。
ここに拘っていると、頭に血が昇ってしまいます。
\(N\) の桁数などに影響を与えているのは、ほぼ\(2^{131}\) の部分であり、「\(+192\)」 はほぼチリのようなものだという大局観が求められます。
もちろん、「\(+192\)」 の影響で繰上りをおこして桁数が変わってしまうかもしれないことも懸念しながら記述する必要はありますが、どちらかというとラフに評価する姿勢が大切です。
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