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基本対称式についての符号についての論証問題です。
符号だけでなく、整数問題の要素も含めたオチまである欲張りなセットです。
キレイな結果とは裏腹に、導出過程はそれなりに紆余曲折があると思います。
本問は「逆なら楽勝で言えるのにシリーズ」の一つと言ってよく、京大が好みそうな感じですね。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む 本問の出どころ 本問の出どころは恐らく２文字の基本対称式についての以下の性質でしょう。 ２文字の基本対称式についての性質 \(x=a+b\) , \(y=ab\) とするとき \(x \gt 0 \ , \ y \gt 0 \ \Leftrightarrow \ a \gt 0 \ , \ b \gt 0\) 証明 \(a \gt 0 \ , \ b \gt 0 \ \Rightarrow \ x \gt 0 \ , \ y \gt 0\) は明らかなので、 \(x \gt 0 \ , \ y \gt 0 \ \Rightarrow \ a \gt 0 \ , \ b \gt 0\) を証明する。 \(y \gt 0\) なので ③：\(a \gt 0\) かつ \(b \gt 0\) ④：\(a \lt 0\) かつ \(b \lt 0\) のいずれかが成り立つが、④が成り立つと仮定すると \(x \gt 0\) であることに矛盾する。 本問は 「２文字の基本対称式についての性質を、３文字に拡張して考えてみてください」 という趣旨で作られたのだと思います。 (1) について \(x \gt 0\) という条件から \(a+b+c \gt 0\) , すなわち \(c \gt -(a+b) \cdots\)① という結果となります。 与えられた条件の中で \(c\) だけ仲間外れにされているという感じですから、 \(y=ab+c(a+b)\) と \(c\) で括ってやり、① を用いて \(c\) を消してやることを考えます。 すると \(y \lt ab-(a+b)^{2}\) , すなわち \(y \lt -(a^{2}+ab+b^{2})\) となるため、\(y \lt 0\) という結論を得ることができます。 (2) について \(a \gt 0 \ , \ b \gt 0 \ , \ c \gt 0 \Rightarrow x \gt 0 \ , \ y \gt 0 \ , \ z \gt 0\) はほぼ明らかですから、結局は \(x \gt 0 \ , \ y \gt 0 \ , \ z \gt 0 \Rightarrow a \gt 0 \ , \ b \gt 0 \ , \ c \gt 0\) を証明することになります。 その際に (1) が強力に効いてきます。 今回、\(z \gt 0\) であることから ①：\(a\) , \(b\) , \(c\) が全て正 ②：２つが負で、１つが正 のいずれかが言えることになります。 ① であることが言いたいので、② を否定すれば解決します。 仮に \(a \lt 0\) , \(b \lt 0\) としてみると、\(x \gt 0\) であることを併せれば、(1) から \(y \lt 0\) ということになり、 \(x \gt 0 \ , \ y \gt 0 \ , \ z \gt 0\) ということに矛盾します。 もちろん、文字の対称性から \(b \lt 0\) , \(c \lt 0\) \(c \lt 0\) , \(a \lt 0\) と仮定しても、同様に矛盾します。 (3) について (2) では不等号でしたが、それを合同式として扱うだけだと気が付けば、手が進むはずです。 すなわち、法を \(3\) として \(x \equiv 0 \ , \ y \equiv 0 \ , \ z \equiv 0 \Leftrightarrow a \equiv 0 \ , \ b \equiv 0 \ , \ c \equiv 0\) を目指します。 これも (2) 同様 \(a \equiv 0 \ , \ b \equiv 0 \ , \ c \equiv 0 \Rightarrow x \equiv 0 \ , \ y \equiv 0 \ , \ z \equiv 0\) はほぼ明らかですから \(x \equiv 0 \ , \ y \equiv 0 \ , \ z \equiv 0 \Rightarrow a \equiv 0 \ , \ b \equiv 0 \ , \ c \equiv 0\) ということが言えれば解決です。