tanの逆関数【定積分で表された関数の扱い】【2012年度神戸大学ほか】

2021年5月10日

今回は \(\tan{ \ }\) の逆関数を扱った問題を扱います。

それなりに手垢の付いている話題なので、ちょこちょこ様々な大学で出題されています。

(以下ネタバレ注意)

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今回の \(f(x)\) は

\(\displaystyle \int_{0}^{x}\displaystyle \frac{1}{1+t^{2}} dt\) は \(\tan{x}\) の逆関数を表します。

その知識の差が出来不出来に直結することがないように丁寧な誘導が付いています。

ただ、\(\tan{(\displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha)}=\displaystyle \frac{1}{\tan{\alpha}}\) という関係式などから

例えば (3) の \(f(x)+f(\displaystyle \frac{1}{x})=\displaystyle \frac{\pi}{2}\) という結果は見える人には見えてしまいます。

ただし、どちらかと言うと、\(f(x)+f(\displaystyle \frac{1}{x})\) が定数関数であることを証明するとなったら、

\((f(x)+f(\displaystyle \frac{1}{x}))'=0\) ということを目指すのが自然であり、特にこのことについてはノーヒントであっても発想可能な範疇だと思います。

復習用問題について

復習用問題を３題用意しました。

定着用とプラスアルファ用ということで、適宜活用してください。

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tanの逆関数【定積分で表された関数の扱い】【2012年度 神戸大学ほか】