放物線に接する外接円【1988年度 大阪大学ほか】

設定

ひとまず今回の円 \(O_{n}\) の方程式を立式するために、中心の座標と半径を設定することにします。

中心を \((0 \ , \ a_{n})\) ,  半径を \(r_{n}\)

とすると、円 \(O_{n}\) の方程式は

\(x^{2}+(y-a_{n})^{2}={r_{n}}^{2}\)

ということになります。

これと放物線 \(y=x^{2}\) が２点で接するということをどのように捌いていくかが最初のポイントです。

路線１：\(x^{2}\) を消去する

次数が低い方がよいと考えれば、\(y=x^{2}\) と \(x^{2}+(y-a_{n})^{2}={r_{n}}^{2}\) を連立して \(x^{2}\) を消去すると

\(y+(y-a_{n})^{2}={r_{n}}^{2}\)

ということになり、これを整理すると

\(y^{2}-(2a_{n}-1)y+{a_{n}}^{2}-{r_{n}}^{2}=0\)

という \(y\) の２次方程式を得ます。

これが正の重解をもてばよく、ひとまず判別式 \(D\) について \(D=0\) を処理していきます。

これにより、

\(a_{n}={r_{n}}^{2}+\displaystyle \frac{1}{4}\)

という関係式を得ます。

路線２：\(y\) を消去する

\(y=x^{2}\) と \(x^{2}+(y-a_{n})^{2}={r_{n}}^{2}\) を連立して \(y\) を消去すると

\(x^{2}+(x^{2}-a_{n})^{2}={r_{n}}^{2}\)

ということになり、これを整理すると

\(x^{4}-(2a_{n}-1)x^{2}+{a_{n}}^{2}-{r_{n}}^{2}=0\)

と、\(x\) の４次方程式を得ます。

一般に、これが４つの実数解をもつとすると、対称性から

\(x=\alpha \ , \ \beta \ , \ -\alpha \ , \ -\beta\)

という形となります。

これにより、

\(x^{4}-(2a_{n}-1)x^{2}+{a_{n}}^{2}-{r_{n}}^{2}=(x-\alpha)(x+\alpha)(x-\beta)(x+\beta)\)

すなわち

\(x^{4}-(2a_{n}-1)x^{2}+{a_{n}}^{2}-{r_{n}}^{2}=(x^{2}-{\alpha}^{2})(x^{2}-{\beta}^{2})\)

という形に因数分解できることになります。

特に今回の

というシチュエーションは \(\alpha=\beta\) のときを考えればよく

\(x^{4}-(2a_{n}-1)x^{2}+{a_{n}}^{2}-{r_{n}}^{2}=(x^{2}-{\alpha}^{2})^{2}\)

すなわち

\(x^{4}-(2a_{n}-1)x^{2}+{a_{n}}^{2}-{r_{n}}^{2}=x^{4}-2{\alpha}^{2}x^{2}+{\alpha}^{4}\)

が \(x\) についての恒等式ということになり、係数を比較すればよいでしょう。

この路線で捌いても、

\(a_{n}={r_{n}}^{2}+\displaystyle \frac{1}{4}\)

を得ることになります。

外接条件

２円 \(O_{n}\) ,  \(O_{n-1}\) 外接するという条件から

\(a_{n}-a_{n-1}=r_{n}+r_{n-1}\)

という関係式も得ることができます。

先ほどの

\(a_{n}={r_{n}}^{2}+\displaystyle \frac{1}{4}\)

という関係式と合わせて考えていきます。

方針としては一文字消去ということで、消しやすい \(a_{n}\) を消していけばよいでしょう。

この連立漸化式を捌き、\(a_{n}\) ,  \(r_{n}\) を出せれば、中心の座標と半径が分かるため、本問は解決です。

類題１について

類題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

例題の確認問題です。

(1) については (2) を片付ければ同時に片付きます。

類題２について

類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

放物線と円が接するという状況としては、例題や類題１のように

というように２点で接するという状況もあれば

という状況もあります。

本問はこの接し方についても扱います。

なお、円と放物線の共有点の個数については

で本腰を入れて解説しています。

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