場合の数・確率系

難易度について

A:試験場においては確実に確保したいレベル(易)
B:典型問題、及び定石的解法の範疇で完答が狙える、もしくは要求される発想が基礎学力があれば無理のないレベル(やや易)
C:一部思考力や考察力を要するポイントを含むが、演習経験、あるいは適切な誘導によって完答を狙えるレベル(標準)
C+:Cレベルの問題であるが、計算が大変だったり、記述がしにくかったり、特定の分野で弱点があると完答できない、経験がないと思いつくのが困難な発想を要求される、など完答を阻む要素が多い問題(標準~やや難)
D:思考力や考察力を要するポイントを含み、機械的なパターン学習では太刀打ちできない問題で、多くの受験生にとって試験場での完答が難しいであろう問題(やや難~難)
E:受験生が制限時間内に完答するのは極めて困難なレベル(難)

 

1999年度 立教大学 2002年度 千葉大学 2012年度 岐阜薬科大学 1996年度 東京大学

難易度:C+
組分け問題【区別のあるなし問題】【1999年度 立教大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題 ...

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1998年度 大阪市立大学

難易度:C+
場合の数と論証【隣り合う隣り合わない問題】【1998年度 大阪市立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 順列に関する問題で、数が5個しかないので全部は大変にしても部分的にゴリゴリ押し通していけばできなくはありません。 最後にモノを言うのは基 ...

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2015年度 奈良県立医科大学 2020年度 名古屋大学

難易度:C+ (類題:名古屋大学はC+)
長方形の数え上げ【階段状の図形内の長方形の個数】【2015年度 奈良県立医科大】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   非常にシンプルな問題で、どことなく「何かうまい方法でできそう」みたいな匂いを感じます。 大学入試と言うよりはむしろパズル的 ...

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2017年度 同志社大学

難易度:C+
正n角形の頂点によって作る三角形【2017年度 同志社大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   この手の問題は多くの問題集などにも収録されており、一度は経験したことのある人も多いでしょう。 また、正六角形や正八角形など ...

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1987年度 東京大学 2003年度 東京大学

難易度:C
確率と極限【1987年度 2003年度 東京大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 確率と極限の融合問題ですが、実質的にはまずは確率をきちんと計算できるかが要求されます。 正六角形の頂点に印をうっていき、直角三角形ができ ...

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2001年度 大阪大学

難易度:C+
円周上の点で作る三角形【シグマで数える】【2001年度 大阪大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 円周上の正 \(4n\) 角形の頂点を用いて三角形を作るという、素材としてはよくある問題です。 ただ、素材は定番でも中身はマニュアル的態 ...

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2016年度 久留米大学

難易度:C+
正多面体の色の塗り分け【双対構造の利用】【2016年度 久留米大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 正多面体の色の塗り分け問題です。 よくあるのは立方体の色の塗り分けですが、本問は少しそれを発展させて正八面体の塗り分けを考えてみます。 ...

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2011年度 滋賀医科大学

難易度:C+
隣り合わない円順列【極限との総合問題】【2011年度 滋賀医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   円順列を題材として、最後は極限の計算技能まで見る欲張りな問題です。(実践演習としては誉め言葉です。) 円順列の基本は 円順 ...

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2015年度 滋賀大学

難易度:C
大小関係の決まった順列【取り出した番号が単調増加となる確率】【2015年度 滋賀大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 単元学習や定期考査段階では上級テーマに位置づけられる問題です。 ただ、入試の実戦段階では定番のテーマであり、対応できてほしいタイプの話題 ...

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2003年度 一橋大学

難易度:C
確率の原則【同様に確からしいとは】【確率では全てのものを区別せよ】【2003年度 一橋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 決して簡単ではないですが、確率の原則を確認する上で非常にいい問題です。 まず、同様に確からしいということについてです。 同様に確からしい ...

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1995年度 名古屋大学

難易度:B
簡易的なポーカー【ストレートとフラッシュの確率】【1995年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 問題をよくよく観察してみると、トランプのポーカーをモデルにしているということが分かります。 同じ色が揃うというのは、ポーカーでいうと「フ ...

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2020年度 北海道大学 2018年度 同志社大学

難易度:C
サイコロの出た目の最大公約数と最小公倍数【2020年度 北海道大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) サイコロを \(n\) 回投げ、出た目の最大公約数を考える問題です。 1991年度筑波大学、2007年度大阪大学、2016年度九州大学な ...

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2014年度 奈良女子大学 自作

難易度:C+
サイコロの目の約数と論証【2014年度 奈良女子大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) サイコロを投げて出た目の数の約数の番号の付いたカードを裏返していくという問題です。 実は、この設定で昔作問したことがありました。 当時は ...

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2003年度 京都産業大学 1997年度 一橋大学

難易度:C
確率の最大【隣接2項比較】【2003年度 京都産業大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 確率の最大を求めるという問題を扱います。 恐らく単元学習の段階では解法のクセの強さと、考え方に慣れていないため、難問という位置づけだった ...

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2008年度 東京工業大学

難易度:C+
いびつなサイコロ【不変量に注目】【2008年度 東京工業大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 各面が等確率で出ないサイコロを考えるという設定で、この設定にバリバリ慣れ親しんでいますという人は多くはないでしょう。 昔名古屋大学で直方 ...

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2004年度 名古屋大学 2008年度 東北大学 2017 年度 北海道大学

難易度:C(復習用問題2:北海道大学はC+)
双六を扱った確率【ピッタリあがり】【超えたらあがり】【2004年度 名古屋大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   難関大学では、有名なゲームをネタにしたような出題が時折出題されます。 本問は双六をモデル化した問題です。 答えを出す難しさ ...

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2016年度 東京大学 2017年度 愛媛大学

難易度:C
巴戦【状態を追えるかの判断】【2016年度 東京大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 巴戦という形式の勝者の決め方を題材にした問題です。 大相撲の千秋楽で同じ勝率の力士が3人いた場合に用いられます。 有名ネタであり、類題も ...

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1998年度 九州芸術工科大学

難易度:C+
2変数の確率【シンプルな難問】【1998年度 九州芸術工科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 題意はメチャクチャシンプルなのですが、やってみると結構手こずります。 本問は元々誘導があったのですが、今回は方針決定から組み立てる力を磨 ...

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1995年度 京都大学

難易度:C+
ババ抜きの確率【1995年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 問題をよく見てみると、「ババ抜き」をモデルにした問題だと分かると思います。 2人でやるババ抜きはあまり面白くありませんが、数式的には、京 ...

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2002年度 大阪教育大学

難易度:C
自然数の和分割【2002年度 大阪教育大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 自然数を和として分割する方法について考える問題です。 シンプルでキレイな題意は、アレンジしようにもそれ以上手を加える余地があまりなく、そ ...

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2007年度 お茶の水女子大学

難易度:C
確率漸化式【状態推移をとらえる練習】【立式した漸化式の処理】【2007年度 お茶の水女子大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   難関大頻出テーマである「確率漸化式」をテーマとした問題です。 難関大において、確率漸化式の問題は基本的なものから、凝ったも ...

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2013年度 名古屋大学 2004年度 東北大学

難易度:C
確率漸化式【ドロップアウト型~じゃんけん~】【2013年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   じゃんけんを扱った問題です。 今回のゲームがもつ構造を私は 「ドロップアウト構造」 と呼んでいます。 今回だと3人からスタ ...

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2002年度 一橋大学

難易度:C
取り除かれるコイン【問題の整理と分類】【2002年度 一橋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) シンプルなルールで題意も把握しやすいですが、やってみると「うるさい」問題です。 MathClinic を活用して勉強していただいている人 ...

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1996年度 麻布大学 1999年度 京都大学

難易度:C+
確率漸化式【除去型:隣り合う領域を異なる色で塗る塗り方】【1996年度 麻布大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   \(n\) 角地図という独特な言い回しが目につく問題です。   4色定理 境界線で囲まれるいくつかの領域からなる ...

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2015年度 東京大学(リベンジ用問題:2018年度 名古屋大学)

難易度:C+(リベンジ用問題:D)
確率漸化式【設定する上での工夫】【2015年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   確率漸化式の標準問題の多くは、基本的な漸化式の処理力があれば、どちらかというと得点源になる分野です。 本問の場合、機械的な ...

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2012年度 京都大学

難易度:D
サイコロの目による漸化式【2012年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) サイコロの目によって決まっていく漸化式から得られる値がある範囲内に収まっている確率を求める問題です。 いかにも何かありそうな設定ですが、 ...

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2015年度 京都大学

難易度:D
漸化式の視覚化【視覚的な意味と操作の意味を考える】【2015年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(\displaystyle \frac{1}{2}\) からスタートし、2種類の関数を用いて次々と値を出して数列を作っていくという操 ...

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2007年度 産業医科大学

難易度:D
ポリアの壺【仮定を味方につける】【2007年度 産業医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) ポリアの壺と呼ばれる有名問題です。 経験がないと、右往左往することになると思います。 結果自体は分かりやすく、インパクトがあるものですか ...

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1970年度 九州大学

難易度:C
球の追加による確率【1970年度 九州大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 壺から壺へ球を移動させていき、最後の壺から白球が取り出される確率を考えます。 人によっては直感で分かってしまう人もいるかもしれません。 ...

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2004年度 大阪市立大学 大阪女子大学

難易度:C+(初見だとE)
破産の確率【初見ではほぼ絶望】【2004年度 大阪市立大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   破産の確率と呼ばれるタイプの問題で、初見で解ききることは極めて困難です。 (1)、(2) は回数制限があるため、具体的に状 ...

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2013年度 成城大学

難易度:C+
完全順列 攪乱順列 モンモール数【2013年度 成城大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 完全順列、攪乱順列、モンモール数などと呼ばれる話題の問題で、1994年度慶応大、2004年度東工大など類題も多く見られます。 本問のよう ...

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1985年度 東京大学

難易度:C+
抽象的な事象の確率と漸化式【1985年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 玉を取る、カードを取る、サイコロを投げる、といったいかにも確率の題材となる具体的試行ではなく、ある変数が整数 \(n\) という値をとる ...

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2019年度 秋田大学

難易度:C
復元抽出による番号についての考察【2019年度 秋田大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   復元抽出(元に戻して取り出す)について扱う問題です。 今回は箱から番号付きのカードを取り出すという設定ですが、サイコロを振 ...

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2005年度 京都大学ほか

難易度:C+
取り出したカードの数が等差数列となる確率【2005年度 京都大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) とてもシンプルな問題ですが、いざ考えてみると難しく感じるという、いかにも京大らしい問題です。 愚直に押し切る方法と、見方を変えればあっさ ...

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2013年度 東京大学

難易度:D
サーブ権のあるゲームの得点推移【急所をいかに捉えるか】【2013年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     昔のバレーボールなどで採用されていた「サーブ権」をネタにした問題です。 今のバレーボールはラリーポイント制で ...

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2017年度 東京大学

難易度:C
ランダムウォーク【事象の内訳を捉える】【2017年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   原点からスタートし、ある確率に従って進む方向が決まるという、よくある設定の問題です。 本問は2017年度の東大の問題ですが ...

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2013年度 学習院大学 1999年度 東京大学 1991年度 慶応義塾大学

難易度:C(東大の類題1は C+)
通・不通問題【到達可能かどうかを考える】【2013年度 学習院大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 頂点 ...

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1995年度 北海道大学

難易度:C+
事象の噛み砕き【方針決定】【対称性の活用】【1995年度 北海道大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   ランダムウォークという種類の問題で、本問は言ってみたら \(x=2\) というカーペットの上を通過する確率です。 結局「具 ...

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1990年度 東京大学

難易度:E
サイコロの目によって作られる無限小数【難問】【1990年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     1990年度の東京大学の問題で、この年は東大の歴代前期試験の中でも凶悪な難易度を誇った年として有名です。 こ ...

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2007年度 東京大学

難易度:C
リセットありの得点【積まれたブロックの高さが得点】【2007年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   リセットがあるというのが特徴のゲームについて考えます。 ブロックではなく、座布団であれば、本問は笑点です。   ...

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1992年度 大阪大学 改

難易度:C
確率についての分野融合問題【条件付き2変数関数との融合問題】【1992年度 大阪大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   本問は確率の要素はあまりなく、\(P (a,b,c)\) を立式すること自体そんなに難しくありません。 問われているのは、 ...

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2009年度 千葉大学

難易度:C
カードの番号の積【直接考えるか余事象を考えるかの方針決定】【2009年度 千葉大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   番号付きカードを取り出したり、サイコロを投げたりして番号の和や積を考える問題は沢山あります。 本問は典型的なテーマをベース ...

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1997年度 名古屋市立大学

難易度:C
余事象を正しく捉える【1997年度 名古屋市立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) いわゆるランダムウォーク(酔歩)と呼ばれる類の問題です。 様々なバリエーションがありますが、本問は正三角形上の辺を通って下段に降りていく ...

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2010年度 高知大学

難易度:C+
最短経路と直進距離に関する考察【隣り合わないように並べる方法】【2012年度 高知大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   (1),(2)までは典型的な教科書レベルの問題です。 頭を使うのは(3),(4)からで、5m以上の直進があるような最短距離 ...

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1994年度 千葉大学 2012年度 山口大学

難易度:D
蛇経路【経路問題の難問】【1994年度 千葉大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 定番の経路問題をベースとして、プラスアルファの思考要素が入った問題です。 (1) は落としたくないレベルですが、(2) は難問です。 東 ...

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2008年度 九州大学

難易度:D
カタラン数【最短経路の応用問題】【2008年度 九州大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) (1) ,  (2) について 最短経路の問題として (1) ,  (2)  についてはきっちりと確保したいレベルの基本問題です。 (3 ...

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2019年度 兵庫県立大学 1999年度 名古屋大学 2010年度 京都大学

難易度:C
確率と区分求積法【2019年度 兵庫県立大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 確率 ...

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