極限・微分積分系

難易度について

A:試験場においては確実に確保したいレベル(易)
B:典型問題、及び定石的解法の範疇で完答が狙える、もしくは要求される発想が基礎学力があれば無理のないレベル(やや易)
C:一部思考力や考察力を要するポイントを含むが、演習経験、あるいは適切な誘導によって完答を狙えるレベル(標準)
C+:Cレベルの問題であるが、計算が大変だったり、記述がしにくかったり、特定の分野で弱点があると完答できない、経験がないと思いつくのが困難な発想を要求される、など完答を阻む要素が多い問題(標準~やや難)
D:思考力や考察力を要するポイントを含み、機械的なパターン学習では太刀打ちできない問題で、多くの受験生にとって試験場での完答が難しいであろう問題(やや難~難)
E:受験生が制限時間内に完答するのは極めて困難なレベル(難)

 

2008年度 南山大学 2007年度 西南学院大学 1998年度 東京大学

難易度:C
極大値と極小値の和・差【対称式・交代式の扱い】【2008年度 南山大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 極大 ...

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2003年度 大阪大学

難易度:C
放物線と2直線で分けられる部分の面積【2003年度 大阪大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 放物線と直線により囲まれる面積についての処理について扱った問題です。 言われたことを言われたとおりにしかやれない人はさようなら という大 ...

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1986年度 お茶の水女子大学 1960年度 千葉大学 1959年度 京都大学

難易度:C
極限の有限確定条件【1986年度 お茶の水女子大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 分数形の関数の極限が有限確定値に収束するための条件について考える問題です。 話題としては定番の話題に入ると言ってよく、試験場で初見という ...

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2007年度 聖マリアンナ医科大学 1977年度 名古屋大学 2012年度 京都大学

難易度:C
意外と唸る極限計算【2007年度 聖マリアンナ医科大ほか】

今回考えてもらう問題はコチラです。 類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 「類題2?」と思うかもしれませんね。 この京都大学の問題はただの極限計算と言いつつも、意外と出来が ...

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2005年度 広島大学

難易度:C
楕円と双曲線の交点と極限【2005年度 広島大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 楕円と双曲線の交点の座標と極限を絡めた問題です。 基本的な極限計算の運用を試す適度なレベルの問題だと思います。 その思いとは裏腹に入試間 ...

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1995年度 埼玉大学

難易度:C
sin∞タイプの極限【1995年度 埼玉大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(\sin{\infty}\) という一見収束しないように見える形の極限値を求める問題です。 結果的にこの極限が収束するというのは、感 ...

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2010年度 北海道大学 1992年度 信州大学

難易度:C
コッホ雪片【フラクタル図形】【2010年度 北海道大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) コッホ雪片と呼ばれる有名な図形を題材とした問題です。 操作の意味と特徴をしっかりと把握できれば、問題の難易度自体は標準的な難易度です。 ...

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2005年度 名古屋大学 2001年度 千葉大学 2012年度金沢大学

難易度:C
オイラーの無限積 ヴィエトの公式【2005年度 名古屋大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   オイラーの無限積やヴィエトの公式などを背景とした問題を集中的に扱って、一度この話題を整理したいと思います。 問題を解けるよ ...

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2012年度 東京都立大学

難易度:C
最大公約数についての数列【2012年度 東京都立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 最大公約数についての数列を考え、和などを考える問題です。 標準的なレベルの問題で、野球で例えるなら135km/h 真ん中ちょい高めのスト ...

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2000年度 大阪大学 2008年度 東京工業大学

難易度:C(類題はC+)
天井関数と床関数(ガウス記号)に関する極限【2000年度 大阪大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   ガウス記号(床関数)が絡んだ極限と、その親戚(兄弟)のよう ...

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2010年度 北海道大学

難易度:C+
算術幾何平均【漸化式で定まる数列の極限】【2010年度 北海道大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     \(a_{n+1}=\displaystyle \frac{a_{n}+b_{n}}{2}\) ,  \(b ...

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2016年度 宮城教育大学 1975年度 東京大学

難易度:B(類題はC+)
特殊な置換を用いた極限【ノーヒントの場合の考察あり】【2016年度 宮城教育大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 三角関数による置換を用いた極限に関する問題です。 例題としてもってきた問題は丁寧な誘導がついているため、誘導に従っていけば完答することも ...

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1988年度 東京大学

難易度:C
折れ線と極限【階差数列と無限等比級数の運用】【1988年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 座標平面上において折れ線状に動く点の動きを考察する問題です。 「点 \(P\) が \(x=b\) を横切る」ということを式的に論じるに ...

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2021年度 東京工業大学

難易度:C
調和級数とその応用【ある数字を含む項を除いた級数】【2021年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 記号で書かれているために、読み取りづらい部分はありますが、 \(\displaystyle \frac{1}{1}+\displayst ...

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1970年度 九州大学

難易度:C
eの定義と周辺の関連事項【不定形の形から対応を考える】【1970年度 九州大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 反復試行の確率の形をしているため、下手なことを考えると右往左往しかねない問題です。 シンプルに極限の問題と捉えて考えましょう。 + クリ ...

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2009年度 兵庫県立大学 1998年度 信州大学

難易度:C
3次方程式の解の極限【2009年度 兵庫県立大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 3次方程式の解の極限について扱う問題ですが、口で言う以上の様々なテーマや教訓を含んでいます。 極限についてや、方程式の扱いについての実戦 ...

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2019年度 東京大学

難易度:C+
方程式の解に関する極限【視覚化による予想】【不定形の形からの判断】【2019年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 方程式の解に関して、様々な考察をさせる良問です。 この年にこの問題を解いたとき、教材として使いたいなと思った記憶があります。 &nbsp ...

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2016年度 東京大学

難易度:C+
eの関数的な評価【微分による不等式証明の工夫】【2016年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   2016年度東京大学理系第1問です。 ネイピア数 \(e\) の定義である \(\displaystyle \lim_{ ...

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2004年度 信州大学

難易度:C+
リプシッツ連続【全称命題とその運用】【2004年度 信州大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 必ず成り立つ不等式を文字通り絶対不等式と言います。 本問はある程度の演習をこなしている人からすると、あるものがインスピレーションされると ...

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1994年度 筑波大学

難易度:C
縮小関数による漸化式の極限【関数によって定まる数列の極限】【1994年度 筑波大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   縮小関数による漸化式の極限という、難関大ではちょこちょこ出題されるテーマです。 もし、初見であれば、まずは初見でやってみて ...

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1995年度 名古屋大学 1991年度 高知大学

難易度:C
ニュートン法【接線のx切片によって定まる数列】【1995年度 名古屋大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) ニュートン法と呼ばれる「よりよい近似解」を求めるアルゴリズムについて考え ...

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2000年度 東京工業大学

難易度:C+
変数の設定【一般性を失わない設定をする工夫】【2000年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   問題文を見ると、変数らしい設定が何もありません。 自分で分野や変数を設定し、その設定の中で立式・処理を進めていく力は言うま ...

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2007年度 青山学院大学

難易度:C
分数関数の極値【安田の定理】【2007年度 青山学院大】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 問題自体は標準レベルの問題で、方針面では躓くことなく進めてほしい問題です。 今回は、分数関数の極値を計算する際の 計算上の工夫について考 ...

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2007年度 東京理科大学

難易度:C+
増減表の継ぎはぎ【2007年度 東京理科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) たかが微分、されど微分。 難関大受験生にとっては方針面で困ることはないでしょうが、試験場だと頭に血がのぼるタイプの問題です。 「いかに解 ...

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2015年度 名古屋大学

難易度:C
2^x=x^2の有理数解【曲線と曲線の位置関係】【2015年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(2^{x}=x^{2}\) という指数関数に関する方程式の有理数解を求めるという分かりやすい題意です。 その過程で色々教訓になること ...

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2018年度 名古屋大学

難易度:C+
指数関数と対数関数の共有点【逆関数同士の交点について注意】【2018年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(y=a^{x}\) と \(y=\log_{a}x\) という逆関数同士のグラフの交点について論じる問題です。 まずは何も見ずにノー ...

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2003年度 札幌医科大学

難易度:C+
三角比が等差数列をなす角度【sinθ,cosθ,tanθの並べ替え】【2003年度 札幌医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) この問題のオチは考えてみたくなります。 できることなら (1) や (2) の誘導なしで考えてみてほしいところですが、(1) ,  (2 ...

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2009年度 早稲田大学

難易度:C+
形が同じ2数の大小比較【隠れテーマ複数あり】【2009年度 早稲田大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 大小比較という問題ですが、今回与えられている2数は形が同じで、角度が \(x\) と \(y\) となっているか \(2x\) と \( ...

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1994年度 名古屋大学

難易度:C+
実数解の個数【色々見えるn次方程式】【1994年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 方程式の実数解の個数を数えるというテーマとしてはよくある話題です。 ただなまじ色々見える分、方針決定が難しく、押し通すにしてもそれなりに ...

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1994年度 東京大学

難易度:C+
微分法の方程式・不等式への応用【1994年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 見た目は、どこにでもありそうな微分の運用問題のように思えます。 ただ、型通りの問題で終わらないよう、言葉にすることが難しい「センス」を要 ...

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2007年度 大阪大学

難易度:C+
微分と不等式証明【誘導を活用するための工夫】【2007年度 大阪大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   不等式の証明がテーマとなっていますが、オチの問題で使いそうなものが (1) ,  (2) に散りばめられています。 (1) ...

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2009年度 東京大学

難易度:C+
不等式証明と大小比較【2009年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 不等式証明と、それを利用する数値の大小比較の問題です。 (1) の不等式証明から結構ハードです。 (2) も (1) の単純な運用では中 ...

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2010年度 大阪医科大学

難易度:C
オイラーの定数【調和級数と対数関数の誤差】【2010年度 大阪医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) オイラーの定数 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\{(1+\displaystyle \frac{ ...

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興味深い事実

難易度:C+
平均値の定理における接点の位置

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 平均値の定理そのものについては難関大受験生にとって基本事項の1つです。 本問はその平均値の定理を指数関数 \(f(x)=e^{x}\) ...

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2008年度 東京大学 1989年度 関西学院大学

難易度:C
長さ一定の放物線の弦の中点【2008年度 東京大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 長さが一定の放物線の弦の中点について考える問題です。 素直に立式していけば特に無理はないのですが、普段から場当たり的に問題を解いていると ...

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2016年度 お茶の水女子大学 1990年度 東京工業大学

難易度:C+
従属n変数関数の最小【エントロピー】【2016年度 お茶の水女子大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 一般に、\(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=a\) という従属な関係式をもつ正の \(n\) 変数 \(x_{1}\) ...

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2008年度 群馬大学

難易度:C+
sinxに関する有名不等式【sinに関する数値評価】【2008年度 群馬大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(\sin{\displaystyle \frac{1}{2}}\) に関する数値評価の問題です。 (1) という誘導があるため、その ...

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1988年度 大阪教育大学

難易度:C
微分積分に関する正誤判定【1988年度 大阪教育大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 微分積分に関する正誤判定の問題です。 「それらしい」主張に惑わされないこと。 勝手なMy Rule をふりかざさないこと。 ということに ...

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1994年度 九州大学

難易度:C
三角関数の直交性【1994年度 九州大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 三角関数の直交性を基にした問題です。 「関数が直交?どういうこと?」 と思うかもしれません。 このあたりは、より抽象的に定義されるベクト ...

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1963年度 慶応義塾大学 1964年度 電気通信大学

難易度:C
ウィルティンガーの不等式【1963年度 慶應義塾大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) ウィルティンガーの不等式と呼ばれる ウィルティンガーの不等式 \(f(x)\) が周期 \(2\pi\) をもち、\(\displays ...

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2012年度 神戸大学

難易度:B
tanの逆関数【定積分で表された関数の扱い】【2012年度 神戸大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回は \(\tan{ \ }\) の逆関数を扱った問題を扱います。 それなりに手垢の付いている話題なので、ちょこちょこ様々な大学で出題 ...

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2009年度 大分大学

難易度:D
定積分に関する評価と極限【はさむための工夫】【2009年度 大分大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   定積分に関する評価と極限についての問題です。 (1) は基本的な積分計算で、ここは落とせません。 (2) が文句なしの難問 ...

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1994年度 東京工業大学

難易度:C
減衰曲線【立式からその処理までの一連の流れを確認】【1994年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   減衰曲線を扱った定番の問題です。 本問に限らず、同様の趣旨の問題は毎年どこかでは出題されます。 多少の亜種はありますが、シ ...

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2017年度 東京海洋大学  2013年度 日本女子大学

難易度:B
サインカーブの等分【面積の等分問題】【2013年度 日本女子大学】

今回は登山コースを3コース用意しました。   上級コース 問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   上級コースは面積の2等分という定番問題のシナリオがきち ...

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2011年度 津田塾大学 2014年度 東北大学

難易度:C+
双曲線が絡んだ面積【特殊な置換積分】【2011年度 津田塾大学ほか】

【問題1】はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 【問題2】はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 双曲線が絡んだ面積計算についての問題です。 【問題1】では双 ...

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1991年度 鹿児島大学

難易度:C
下に凸の曲線と直線で囲まれた部分の面積【1991年度 鹿児島大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 下に凸の曲線と直線で囲まれた部分の面積についてのキレイな結論を証明する問題です。 \(f(x)\) が具体的に決まっていない抽象的な状態 ...

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2017年度 札幌医科大学 2003年度 武蔵工業大学 2006年度 宮城教育大学

難易度:B
積分方程式【定数型】【2017年度 札幌医科大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 教科書の項目的には「定積分で表された関数」という項目に属する問題です。 本問は 「この関係式を満たす \(f(x)\) なぁ~んだ」 と ...

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2019年度 広島大学 2004年度 明治大学 2017年度 奈良県立医科大学

難易度:B(類題2はC)
積分方程式【変数型】【2019年度 広島大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 教科書の項目的には「定積分で表された関数」という項目に属する問題です。 本問は 「この関係式を満たす \(f(x)\) なぁ~んだ」 と ...

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1995年度 大阪市立大学 2009年度 京都大学

難易度:C
積分方程式【ハイブリッド型】【1995年度 大阪市立大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 教科書の項目的には「定積分で表された関数」という項目に属する問題です。 本問は 「この関係式を満たす \(f(x)\) なぁ~んだ」 と ...

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2005年度 名古屋大学 2005年度 弘前大学

難易度:C
king property【対称性を利用した置換積分】【2005年度 名古屋大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) king property (キングプロパティー) と呼ばれる置換積分がバックボーンにあります。 ノーヒントだと泡を吹く受験生が多数出て ...

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2019年度 静岡県立大学 1979年度 学習院大学

難易度:C+
定積分の難問【対称な積分区間】【2019年度 静岡県立大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 定積分の計算というシンプルなオチですが、ノーヒントではほとんど差がつかないでしょう。 特に (3) で誘導の使い方が分からないと、頭に血 ...

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2005年度 神戸大学

難易度:C
定積分を扱う際のモノの見方【2005年度 神戸大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 定積分を含んだ抽象的な関数に関する論証問題です。 定積分をどう捉えるかというのが本問のテーマではありますが、それに加えて、 抽象的な関数 ...

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1991年度 名古屋大学 2005年度 法政大学

難易度:C
関数列の一般項【定積分による漸化式】【1991年度 名古屋大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 定積分を用いた漸化式によって定まる関数列の一般項を求めるという趣旨の問題 ...

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1996年度  大阪大学 2006年度 首都大学東京(東京都立大)

難易度:C
面積評価と極限【1996年度 大阪大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 面積評価と極限に関する問題です。 現役生にとって、数Ⅲの完成度は大きく合否を左右します。 そんな中で、今回の話題はきっちりと差が付くテー ...

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1999年度 京都大学

難易度:C+
計算できないシグマとその評価方法【1999年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     計算できないシグマと、その評価方法についての問題です。 評価とは「大小を比較して不等号をつないでいく」ことで ...

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1990年度 お茶の水女子大学

難易度:C+
面積評価の工夫【k乗数の相加平均】【1990年度 お茶の水女子大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(1^{k}\) から \(n^{k}\) までの \(k\) 乗数の相加平均に関する不等式証明の問題です。 見慣れない記号に圧倒され ...

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1988年度 岐阜大学

難易度:C
有名曲線【サイクロイド】【パラメーター表示された曲線の接線の扱い】【1988年度 岐阜大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) サイクロイドという有名曲線を扱った問題です。 サイクロイドとは ガムを踏んだタイヤが転がったときの、ガムの軌跡 です。 サイクロイドの中 ...

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1989年度 東京工業大学

難易度:C
有名曲線【エピサイクロイドと長さ】【1989年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 【他の有名曲線を扱った問題はこちら】   さて、本問はサイクロイド3兄弟の一人、エピサイクロイドという有名曲線を扱った問題です ...

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2014年度 岐阜薬科大学

難易度:C
有名曲線【ハイポサイクロイド】【アステロイド】【2014年度 岐阜薬科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   【他の有名曲線を扱った問題はこちら】   さて、本問はサイクロイド3兄弟の一人、ハイポサイクロイドという有名曲線 ...

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1982年度 岐阜大学

難易度:C
有名曲線【アステロイド】【陰関数の微分】【1982年度 岐阜大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 本問は教科書的な項目で言えば 陰関数の微分に関する力を見る問題 ということができるでしょう。 これから述べる背景的なものや、経験的な部分 ...

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2005年度 早稲田大学

難易度:C
有名曲線【カージオイド】【複素数平面からの問いかけ】【2005年度 早稲田大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   複素数平面の顔をしていますが、一皮むけば、有名曲線が現れます。 もちろん、その有名曲線特有の知識がなければ解けないとかはな ...

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2014年度 同志社大学

難易度:C
有名曲線【リサジュー曲線 (リサージュ 曲線)】【2014年度 同志社大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) リサジュー曲線と呼ばれる有名曲線について扱った問題です。 リサージュ曲線という呼ばれ方もあり、呼ばれ方に多少揺れがあります。 個人的には ...

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2000年度 神戸大学 2007年度 東京大学

難易度:C(発展類題:C+)
有名曲線【等角螺旋と特徴的な性質】【2000年度 神戸大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 有名曲線の一つである「等角螺旋」と呼ばれる曲線について扱った問題です。 対数螺旋、ベルヌーイの螺旋など様々な呼ばれ方がありますが、性質的 ...

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2017年度 名古屋市立大 2016年度 金沢大

難易度:C
有名曲線【カテナリー(懸垂線)】【2017年度 名古屋市立大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) カテナリー(懸垂線)と呼ばれる有名曲線を扱った問題を見ていきます。 カテナリー(懸垂線)とは カテナリー(懸垂線)は鎖やロープの両端をも ...

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1998年度 武蔵工業大学(現 東京都市大学)

難易度:C
有名曲線【伸開線:インヴォリュート】【1998年度 武蔵工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   【他の有名曲線を扱った問題はこちら】   さて、本問は円の伸開線(インヴォリュート)と呼ばれる有名曲線を扱った問 ...

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2002年度 京都大学

難易度:C+
有名曲線【アルキメデスの螺旋(渦巻線)】【2002年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) アルキメデスの螺旋(渦巻線)と呼ばれる有名曲線を扱った問題です。 アルキメデスの螺旋 \(a\) を \(a \gt 0\) なる定数と ...

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2005年度 鹿児島大学

難易度:C
有名曲線【レムニスケート】【2005年度 鹿児島大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) レムニスケート(連珠形)と呼ばれる有名曲線を題材とし、 直交座標表示と極方程式との結びつき 極方程式で表される曲線の面積 について学習し ...

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2015年度 横浜市立大学

難易度:C
有名曲線【デカルトの正葉線】【2015年度 横浜市立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) デカルトの正葉線という曲線についての問題です。 項目的には極座標で表された曲線が囲む面積ということになります。 (以下ネタバレ注意) & ...

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1991年度 北海道大学

難易度:C
1/n乗の対数の極限【logの服を着せる】【1991年度 北海道大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   今回の話題は \(\displaystyle\frac{1}{n}\)乗の対数の極限 です。 昔 \(\displayst ...

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2001年度 東北大学

難易度:C
面積の等分に関する立式【区分求積法についての良問】【2001年度 東北大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   面積の等分に関する条件をいかに立式するかを考える問題です。 雑味が少なく、ポイントが多すぎないこと まんま公式を当てはめる ...

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2006年度 芝浦工業大学 2019年度 埼玉大学

難易度:C+(類題はC)
区分求積法と誤差についての評価【2006年度 芝浦工業大ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 区分求積法に関わる極限を考える問題です。 (1) ,  (2) そのものは教科書の練習問題レベルなのですが、(3) が中々の曲者です。 ...

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2003年度 京都大学

難易度:D
和の極限【形から次の一手を見出す】【2003年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   シンプルな中に芯がある、京大らしい問題です。 和に関する極限についてインスピレーションするものとしては 和の極限の有力方針 ...

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2005年度 岡山大学

難易度:C
円の垂足曲線【動点の動く軌跡と動いた道のり】【2005年度 岡山大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 曲線上の動点 \(T\) における接線に、定点から下ろした垂線の足の軌跡を「垂足曲線」と言います。 本問は円の垂足曲線を扱った問題です。 ...

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1997年度 大阪大学ほか

難易度:C+
eが無理数であることの証明【微分の利用、定積分の利用】【1997年度 大阪大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   ネイピア数 \(e\) が無理数であることを証明させるという、先人の重みを感じるような問題です。 もちろん、誘導なしで証明 ...

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2003年度 大阪大学

難易度:D
πが無理数であることの証明【定積分の利用】【2003年度 大阪大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 円周率 \(\pi\) は無理数です。 と習ったのは中学生ぐらいでしょうか。 教わったときは「へぇ~、そうなんだ」と流してしまう人がほと ...

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2000年度 京都大学

難易度:C
積分漸化式と極限【積分漸化式の作成】【不定形の解消】【2006年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 積分漸化式の作成からスタートし、その漸化式によって定まる数列についての様々な極限を考える問題です。 積分漸化式の作成法、極限を求める方針 ...

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2015年度 横浜市立大学 2007年度 大阪教育大学

難易度:C
ベータ関数【6分の1公式などの拡張】【2015年度 横浜市立大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 通称 \(\displaystyle \frac{1}{6}\) 公式や \(\displaystyle \frac{1}{12}\) ...

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2010年度 大阪教育大学 2008年度 山口大学 2002年度 名古屋市立大学

難易度:C
ウォリスの公式【積分漸化式と極限の良問】【2010年度 大阪教育大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) ウォ ...

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2003年度 北海道大学 2006年度 京都大学

難易度:C+
水の問題【2003年度 北海道大学】【2006年度 京都大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 通称「水の問題」と呼ばれている問題を扱います。 理解したうえで勘所をもっていないと、右往左往しかねませんし、解答を読んでも 聞けば分かる ...

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2000年度 東京理科大学

難易度:C
微分方程式【積分因子法】【2000年度 東京理科大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 微分方程式は厳密には教科書範囲では発展扱いとなっていますが、知識の差で出来具合が大きくならないように誘導をつけて出題されることはしばしば ...

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1994年度 埼玉大学

難易度:C+
関数決定の難問【1994年度 埼玉大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(n\) 次関数 \(f(x)\) が導関数 \(f'(x)\) で割り切れるときに \(f(x)\)を求めるというシンプルな問題です ...

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1994年度 芝浦工業大 1989年度 東京工業大 2018年度 佐賀大学

難易度:C
関数方程式と微分の定義【1994年度 芝浦工業大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 関数方程式の問題で、最終的には微分方程式に帰着するタイプです。 場数を踏むことで、このトピックスに対する勘所を掴んでいきましょう。 (以 ...

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2007年度 北海道大学ほか

難易度:C
不等式で表された立体の体積【2007年度 北海道大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 「不等式で表された立体の体積」というテーマ性のある問題を扱います。 このあたりを場当たり的に何となく理解している状況から、自分が何をして ...

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有名問題

難易度:C
円柱と円柱の共通部分の体積【見づらい立体への対応】【有名問題】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 初見だと何から手を付ければよいか戸惑う人も多いと思います。 以前に 併せてどうぞ 不等式で表された立体という内容を扱いました。 今回はそ ...

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2003年度 東京大学

難易度:C+
円柱と円錐の共通部分の体積【見づらい立体への対応】【2003年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   円柱と円錐の共通部分の体積についての問題です。 東大は昔から立体図形を扱った体積に関する出題が目立ちます。 東大に限らず、 ...

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2019年度 名古屋大学

難易度:C+
円錐を切断した立体の体積【円錐面の立式から計算まで】【2019年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 円錐を切断した立体の体積について考える問題です。 立式する力から、それを計算しきる計算力まで、ある程度の総合力が必要です。 所々に散りば ...

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2012年度 大阪大学

難易度:C+
切ってからガッチャンコ【見づらい立体への対応】【2012年度 大阪大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) まずは問題の舞台設定を把握するところからエネルギーを使います。 ベクトルで表現されていますがこの \(V_{a}\) ,  \(V_{b ...

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2004年度 京都工芸繊維大学

難易度:C
縦軸回転体の体積【バームクーヘン分割】【2004年度 京都工芸繊維大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   縦軸回転体の体積をシンプルに問いかけている潔い問題です。 もちろん 単調性のある\(y\) 軸回転体の体積については \( ...

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2006年度 横浜国立大学

難易度:C+
斜軸回転体の体積【傘型積分】【コーン積分】【2006年度 横浜国立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   斜軸回転体の体積というテーマ性のある話題です。 通常の \(x\) 軸回転体、\(y\) 軸回転体に加え、マスターしておき ...

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2014年度 名古屋大学

難易度:C+
空間座標における回転体【ズレて刺さった団子の回転体】【2014年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   空間座標における回転体というトピックスで、難関大を目指すにあたっては避けては通れない話題です。 一般に 空間座標における回 ...

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2003年度 東北大学

難易度:C+
空間座標における回転体【ベビースターラーメンの回転体】【2003年度 東北大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   空間座標における回転体は出題されれば差が付くトピックスです。 難関大を目指すにあたってはしっかりと準備しておきたい話題です ...

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2011年度 名古屋大学

難易度:C+
回転体の回転体【タイヤの回転体】【2011年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 平面内の長方形を回転させ、出来上がった回転体をさらに回転させるという問題です。 空間座標における回転体に習熟している必要があり、やるべき ...

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2017年度 東京大学

難易度:C+
空間座標における回転体の体積【円錐の回転体の体積とその工夫】【2017年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   (1) は難関大志望者であれば、特に手が止まることはないでしょう。 点 \(P\) の軌跡が円となることも容易に把握できる ...

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2017年度 東京大学

難易度:D
180°しか回転しない空間座標の回転体の体積【2009年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 通常の空間座標における回転体の体積自体、東大は好んで出題する傾向にありますが、本問は 180°しか回転しない回転体の体積 について扱いま ...

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