例題について
例題はこちら（再掲載）（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
(1) について
角度 \(\theta\) だけ転がったときの点 \(\mathrm{P}\) の座標を Get したければ
\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) を Get すればよい
ということになります。
そして、その \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) は
$$\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OP}}&=& \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}} \\
&=& \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\displaystyle \frac {1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}
\end{eqnarray}$$
というように、円周上の点 \(\mathrm{B}\) に注目して
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) を縮める
という方向性で考えます。
まず、\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) についてです。
\(\mathrm{OH}=\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{BH}}=2\theta\)
なので、
$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\left(
\begin{array}{c}
2\theta \\
2 \\
\end{array}
\right)$$
ということになります。
次に\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) についてです。
半径は \(2\) と分かっているので、実質は回転角が分かれば解決ということになります。
その回転角は
と考えれば、
\(\displaystyle \frac{3}{2}\pi-\theta\)
ということになります。
したがって、
$$\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AB}} &=& \left(
\begin{array}{c}
2\cos{(\displaystyle \frac{3}{2}\pi-\theta)} \\
2\sin{(\displaystyle \frac{3}{2}\pi-\theta)} \\
\end{array}
\right) \\
&=& \left(
\begin{array}{c}
-2\sin{\theta} \\
-2\cos{\theta} \\
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}$$
となるため、解決です。
(2) について
通常、パラメータ表示された曲線の接線の傾き \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) を得るためには
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{dy}{d\theta}}{\displaystyle \frac{dx}{d\theta}}\)
と見て、
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\displaystyle \frac{\sin{\theta}}{2-\cos{\theta}}\)
と計算するのが普通です。
法線の傾きとなると、これに対して垂直な傾きということで
\(-\displaystyle \frac{2-\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\)
としたいところですが、分母の \(\sin{\theta}\) が \(0\) となる
\(\theta=0 \ , \ \pi \ , \ 2\pi \ , \ \cdots\)
などのときを心配する必要があります。
もちろん、場合分けをして処理してもよいのですが面倒なので、
傾きではなく、方向ベクトルとして考える
という捌き方をしてみます。
つまり、接線の方向ベクトルは
$$\left(
\begin{array}{c}
2-\cos{\theta} \\
\sin{\theta} \\
\end{array}
\right)$$
なので、このベクトルに垂直な法線の方向ベクトルは
$$\left(
\begin{array}{c}
\sin{\theta}\\
\cos{\theta}-2 \\
\end{array}
\right)$$
ということになるわけです。
通過点と傾きから直線の直交座標表示が得られるのと同じで、
通過点と方向ベクトルから、直線のベクトル方程式が得られる
ということを考えれば、この法線上の点 \((x \ , \ y)\) 集まれ～と呼びかけると
$$\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
\end{array}
\right)=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+t\left(
\begin{array}{c}
\sin{\theta} \\
\cos{\theta}-2 \\
\end{array}
\right)$$
すなわち、
$$\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
2\theta-\sin{\theta}\\
2-\cos{\theta} \\
\end{array}
\right)+t\left(
\begin{array}{c}
\sin{\theta} \\
\cos{\theta}-2 \\
\end{array}
\right)$$
を満たすような \((x \ , \ y)\) が集まってくるわけです。
（実数 \(t\) が動くことで、点 \((x \ , \ y)\) が法線上を動くということ）
この法線の \(x\) 切片の値を求めたければ、\(y=0\) となるような \(t\) のときを考えればよく
\(t=1\)
ということになりますから、このときの \(x\) の値を求めて
\(x=2\theta\)
が得られます。
すなわち、今回求める \(\mathrm{Q}\) の座標は
\((2\theta \ , \ 0)\)
ということになります。
このあとは手なりに \(|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}\) が計算できますから問題ないはずです。
(3) について
- \(\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=2-\cos{\theta}\)
- \(\displaystyle \frac{dy}{d\theta}=\sin{\theta}\)
より、\(0 \leq \theta \leq 2\pi\) という範囲においては
という増減表を得るため、
という概形となります。
\(x\) 軸回転体の体積を考えるにあたり、回すものが回転軸を跨ぐことはありませんから、ウルサイことにはなりません。
パラメータ表示された曲線の回転体の捌き方ですが、
まず、
\(\displaystyle \int_{0}^{4\pi} \pi y^{2} dx\)
と普通に立式します。
曲線が \(y=f(x)\) という形で表現されているのであれば
\(\displaystyle \int_{0}^{4\pi} (x の式) dx\)
となり、何ら問題ないのですが、今回はそれがかないません。
今、\(y\) は \(\theta\) の式で表されていることから
\(\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \pi y^{2} \displaystyle \frac{dx}{d\theta} d\theta\)
というように積分変数を \(\theta\) にする変数変換 (置換積分) をかましてやって処理します。
あとは三角関数の基本的な積分計算となります。
類題について
類題はこちら（再掲載）（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
今度は円の外部の定点の軌跡ということになります。
概形は多少異なってくるものの、基本的なシナリオは例題と同様であり、よい確認問題となるでしょう。
最後のオチは \(y\) 軸方向に積分する面積計算となりますが、上述したパラメータ表示された曲線の面積や回転体の体積などの各種量を計算する考え方で自力で倒してみましょう。
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