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教科書の項目的には「定積分で表された関数」という項目に属する問題です。
本問は
「この関係式を満たす \(f(x)\) なぁ～んだ」
という「方程式」です。
積分に関する方程式ゆえ、積分方程式と呼ばれます。
積分方程式には「定数型」「変数型」「ハイブリッド型」と３タイプありますが、その中でも今回は「ハイブリッド型」を扱います。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む 今回与えられた等式には が混在しています。 もちろん、対応そのものがガラッと変わるわけではなく、定数型、変数型それぞれの処理を施していくことになります。 定数型、変数型の処理については 定数型 例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 教科書の項目的には「定積分で表された関数」という項目に属する問題です。 本問は 「この関係式を満たす \(f(x)\) なぁ～んだ」 と ... 続きを見る 変数型 例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 教科書の項目的には「定積分で表された関数」という項目に属する問題です。 本問は 「この関係式を満たす \(f(x)\) なぁ～んだ」 と ... 続きを見る で解説をしています。 まずは定数型の処理を行うため \(k=\displaystyle \int_{0}^{1}tf(t) dt\) とおきます。 これにより、 \(f(x)=e(x-1)-x\displaystyle \int_{0}^{x}f'(t)dt+\displaystyle \int_{0}^{x}tf'(t)dt+k\) となります。 形を整えたところで変数型の処理を施します。 すなわち両辺を \(x\) で微分します。 これにより、 \(f'(x)=k-f(x)\) という関係式を得ます。 \(f'(x)+f(x)=k\) という形の微分方程式を得ましたが、これについては経験がモノを言う処理となります。 高校生の範囲で分かりやすいのは積分因子法と呼ばれる手法です。 今回は両辺に \(e^{x}\) をかけることで \(e^{x}f'(x)+e^{x}f(x)=ke^{x}\) \((e^{x}f(x))'=ke^{x}\) \(e^{x}f(x)=ke^{x}+C\) というように処理していきます。 このように \(f'(x)+A(x)f(x)=B(x)\) というタイプの微分方程式に対して、\(e^{\int_{ \ }^{ \ }A(x)dx}\) を両辺かけると、\(( \ \ )'\) というようにまとまります。 この \(e^{\int_{ \ }^{ \ }A(x)dx}\) を積分因子と言います。 場数を踏みたい方は 例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 微分方程式は厳密には教科書範囲では発展扱いとなっていますが、知識の差で出来具合が大きくならないように誘導をつけて出題されることはしばしば ... 続きを見る の記事もどうぞ。 定数型や変数型の「やり方」ばかりに目が向きがちですが、 というこのトピックスの根幹を支える基本事項を基に、形や骨格を把握するという根本的な力を問われます。 何となく定数型と変数型の処理をしていたら解けてしまったということもあるやもしれませんが、目線がブレずに解けたという実感がもてているかどうかを確認しましょう。積分区間を見てみると
積分方程式【定数型】【2017年度 札幌医科大学ほか】
積分方程式【変数型】【2019年度 広島大学ほか】
形を整える
微分方程式の処理
参考微分方程式【積分因子法】【2000年度 東京理科大学】
類題について
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