問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
記号で書かれているために、読み取りづらい部分はありますが、
\(\displaystyle \frac{1}{1}+\displaystyle \frac{1}{2}+\cdots +\displaystyle \frac{1}{8}+\displaystyle \frac{1}{10}+\displaystyle \frac{1}{11}+\cdots \cdots \)
というように、分母に数字 \(9\) を含む項を除いてできる級数は \(80\) を超えることはないことを示す問題です。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む 直接計算ができないときは \(\cdots\) この題意の和を直接計算することはできませんから、等号は諦めて不等号を繋いでいく（評価する）という態度が必要になります。 この和を「大きくしよう、大きくしよう」と大きくしても、それが \(80\) に到達しないのであれば題意を示せることになります。 この「大きくしよう」という気持ちをどのような形で実現するかについては、差が付くポイントになります。 (1) がヒント まずは 第１群：\(\displaystyle \frac{1}{1}\) , \(\displaystyle \frac{1}{2}\) , \(\cdots\) , \(\displaystyle \frac{1}{8}\) 第２群：\(\displaystyle \frac{1}{10}\) , \(\displaystyle \frac{1}{11}\) , \(\cdots\) , \(\displaystyle \frac{1}{18}\) , \(\displaystyle \frac{1}{20}\) , \(\cdots\) 第３群：\(\displaystyle \frac{1}{100}\) , \(\displaystyle \frac{1}{101}\) , \(\cdots\) , \(\displaystyle \frac{1}{108}\) , \(\displaystyle \frac{1}{110}\) , \(\cdots\) などというように、桁数で区切って「群数列」のように捉えて整理することがポイントです。 今回の \(\displaystyle \sum_{n=1}^{10^{k}-1} b_{n}\) というのは第１群から第 \(k\) 群までの和であることになります。 これを「大きくしよう、大きくしよう」と思ったら、各群の項を全て先頭の \(\displaystyle \frac{1}{10^{m-1}}\) にしてしまうことが考えられます。 余談 本問で扱った \(\displaystyle \frac{1}{1}+\displaystyle \frac{1}{2}+\cdots +\displaystyle \frac{1}{8}+\displaystyle \frac{1}{10}+\displaystyle \frac{1}{11}+\cdots \cdots \) という、分母に数字 \(9\) を含む項を除いて得られる級数は ケンプナー級数 と呼ばれます。 リベンジ（または定着）用の類題 リベンジ（または定着）用の問題としてもう１題用意しましたので、よろしければぜひどうぞ問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
