実践演習 極限・微分積分系

eが無理数であることの証明【微分の利用、定積分の利用】【1997年度 大阪大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

ネイピア数 \(e\) が無理数であることを証明させるという、先人の重みを感じるような問題です。

もちろん、誘導なしで証明しろという問題が入試として出題されたとしたら、大半の人はひとたまりもないでしょう。

今回持ってきた問題は、受験の項目として大事な考え方などを含むような路線の誘導がついているということで勉強になると思います。

それに加えて、ネイピア数 \(e\) の無理数性を証明するという、学問的な事実としての面白さもあると思います。

本問のオチを見ると、今回の話題であるネイピア数 \(e\) が無理数であるということを全然匂わせていませんが、(4) が意味することはまさに \(e\) が無理数であるということを意味しています。

「これが意味することは分かるな?」

という阪大の出題の仕方は、私は好きです (笑)

(以下ネタバレ注意)

 

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(1) (2) について

定積分と不等式評価の基本である

体の一部を定数化

という考え方です。

定積分の不等式評価の処方箋

体の一部を定数化

積分漸化式に絡め

はぜひ自分のものとしたい考え方です。

積分漸化式の作成においては

積分漸化式作成の処方箋

部分積分からの積分漸化式

という路線が常套手段です。

(3) について

示すべき等式の左辺が \(\displaystyle \frac{a_{n}}{n!}\) であるということから、(2) で得られる

\(a_{n}=na_{n-1}-1\)

という漸化式の両辺を \(n!\) で割ってやります。

これにより

\(\displaystyle \frac{a_{n}}{n!}=\displaystyle \frac{a_{n-1}}{(n-1)!}-\displaystyle \frac {1}{n!}\)

と、階差数列としての構造を得ますので、あとは手なりに進んでいくでしょう。

(4) について

否定的な命題に関する証明なので、背理法を選択します。

もし、\(N!e\) が整数となるような自然数 \(N\) が存在してしまうと仮定して話を進めていくと、これまでの誘導が次々と効いてきます。

類題について

例題の大阪大学と同じように定積分を利用した路線の問題を用意しておきます。

こちらはどちらかと言うと復習用に利用できるかと思います。

【類題1】問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

また、微分を利用した不等式証明から切り込む路線の問題を【類題2】として紹介します。

こちらは別の切り口からの問題として

「同じオチでも切り口が違うと、また脳みその使い方が違うな」

ということを実感してください

【類題2】問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

本問の話題を含むテーマの演習について

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適宜ご活用ください。

\(\pi\) が無理数であることの証明について

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