テーマ別演習

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回は難関大を目指すにあたっては避けて通れない話題である「逆像法」について扱います。 このシリーズを通じて 逆像法のもつイメージ 逆像法の代表的な使いどころ をマスターし、状況に応じて自分で使いこなせるようにすることでライバルに差をつけましょう。 このシリーズの一覧はこちら   代表的な使いどころ 入試によく出題される話題の中で、逆像法が有効にはたらく場面というのは以下の話題です。 逆像法の代表的な使いどころ 最大最小問題への応用 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 逆像法シリーズの第２講は 座標変換への応用 線形計画法 と逆像法についての関連を見ていきます。 このシリーズの一覧はこちら   （以下ネタバレ注意）     + クリック（タップ）して続きを読む (1) について \((x \ , \ y)\) という座標から \((x+y \ , \ xy)\) という座標への変換を考える問題です。 1954年に東大が出題したのが元祖で、通称「エンマさまの唇問題」と呼ばれている ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 逆像法シリーズ第３講は 通過領域 という難関大入試でも頻出の話題について扱います。   このシリーズの一覧はこちら     （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 直接目で追いきれないので \(\cdots\) 今回、\(a\) が動くにつれて円 \(C_{a}\) も動くわけですが、中心、半径が同時に動くため、ラフな動きはともかく、細かな動きを目で追いきることは難しいでしょう。 そこで、逆に ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 逆像法第４講は 方程式の実数解がとり得る値の範囲 を考えるにあたって、逆像法が活用できるということを見ていきます。 このシリーズの一覧はこちら     （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について これについては２次方程式の解に関する注文が入ってくる、いわゆる「解の配置問題」です。 整理しないとグチャグチャになりやすいタイプだと思います。 \(x=0\) を解にもつとき \(x=2\) を解 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。 代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。 このシリーズの一覧はこちら 第１講は 黄金三角形の黄金分割 という話題です。 黄金比について 長方形 A から正方形を切り取って 残った長方形を B とします。 A と B が相似であるとき、長方形 A を黄金長方形といい、その縦横比を \(1 : x\) とすると、 \(1 : ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。 代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。 このシリーズの一覧はこちら   第２講は 正五角形の利用 という話題です。   正五角形はゴールドラッシュ 正五角形の中には第１講で扱った「黄金三角形」が至る所に散りばめられています。 まさに「ゴールドラッシュ」な状態です。 黄金三角形については第１講 で扱っ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。 代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。 このシリーズの一覧はこちら   第３講は チェビシェフの多項式の利用 という話題です。   通常の流れ 通常の例題 \(\theta\) が \(0 \leq \theta \leq \pi\) を満たしているとき \(2\cos^{2}{\theta}+\c ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。 代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。 このシリーズの一覧はこちら   第４講は １の５乗根の利用 という話題です。 複素数平面と三角関数の強力なコラボレーションが心地よく感じると思います。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 最終的なオチ 三角関数を扱ううえで、複素数平 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。 シリーズ一覧 第１講はフィボナッ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。 シリーズ一覧 第２講は リュカ数 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 関連問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っ ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入ってい ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入ってい ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。 シリーズ一覧 第６講では、フィボ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。 シリーズ一覧 第７講では、シュー ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   今回からテーマ別演習でパターン性の濃い計算技法を扱っていこうと思います。 今回のテーマは「シグマ計算」です。 このシリーズの一覧はこちら 最初にまとめておきます。 シグマ計算の基本方針は次の３つです。 シグマ計算基本方針 公式利用とその延長 差分解からの和の中抜け 二項定理の活用   第１講はまずシグマ計算の公式の確認と、その延長について扱います。 手始めにまずは上の問題で公式の確認と、その証明をしてみてください。 最 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 【有理化】 【部分分数分解】 テーマ別演習「シグマ計算基本方針」第２講です。 このシリーズの一覧はこちら シグマ計算の基本方針は次の３つです。 シグマ計算基本方針 公式利用とその延長 差分解からの和の中抜け 二項定理の活用 今回の第２講では 差分解からの和の中抜け を扱います。 差分解からの和の中抜けとは \(\displaystyle \sum_{k=1}^n (b_{k}-b_{k+1})\) とシグマの中身を差の形に見ることで \((b ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） テーマ別演習「シグマ計算基本方針」第３講です。 このシリーズの一覧はこちら シグマ計算の基本方針は次の３つです。 シグマ計算基本方針 公式利用とその延長 差分解からの和の中抜け 二項定理の活用 今回の第３講では 二項定理の活用 を扱います。 二項定理を活用してシグマ計算する場面は特徴的であり、 二項定理を使うシグマ計算 コンビネーションのシグマ というのが見落としてはならない特徴であり、キーワードです。 ただ、単純に代入すればいいだけでなく、 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 【１】（以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 連続自然数の積のシグマ計算は工夫の余地があります。 バラバラに展開してしまった人は「ジェイソン」と呼ばせていただきます。 バラバラにして\(\displaystyle \sum_{k=1}^n k\) ,  \(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^{2}\) ,  \(\cdots\)  などを使って計算していくのは流石にシンドイと思います。 和の中抜けを ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 初見かつノーヒントであれば厳しいと思います。 まずはノーヒントで粘れるだけ粘ってみてください。 どうにも埒があかないな、となったら誘導付きの問題も用意しましたので、そちらで再チャレンジしてみてください。   + クリック（タップ）して誘導付きの問題でチャレンジする 誘導付きはこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \((1+x)^{2n}\) という式を考えるという部分が見えるだけでも、気持ち的には楽でしょう。 と ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら   今回扱うのは二項係数の符号が入れ違いになっている和（交代和）について考えます。 前半部分は第３講で扱った「二項定理の活用」という話題です。 「\((1+x)^{n}\) の展開式を用いて」というのはここまで勉強してきた人からすると正直余計なお世話でしょう。 (ii) の偶数番目だけを取り出したい、奇数番目だけを取り出したい、という問題についても (i) で考えた \(a\) ,  \(b\)  を利用 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら   今回扱うのは３つ飛ばしの二項係数の和について扱います。 原題ではもう少し段階的な設問がありましたが、言われたことをやっているうちに終わってしまい、作業感が強かったため、考えてもらいたい部分については一部カットしました。   （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について 二項定理の活用により仕留める方針が第一感です。 \((1+x)^{n}={}_{n} \ma ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 漸化式は問題を解く中で処理しなければならない場面が多々あります。 確率漸化式などの確率や場合の数の分野との融合 点列など、座標との融合 整数問題との融合 など、漸化式は道具として使う場面が多々あります。 漸化式が立式できても、それが解けないとなると意味がありませんから、基本的な漸化式についてはきちんと処理できる必要があります。 そこで基本的な漸化式について一通りこのシリーズで押さえておきたいと思います このシリーズの一覧はこちら   ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら   前回の第１講で扱った Type 1 \(a_{n+1}=pa_{n}+q\)  ( \(p \neq 1\) ) の派生形として今回は Type 2 (心霊写真型) \(a_{n+1}=pa_{n}+q^{n}\)  ( \(p \neq 1\) )  ( \(q\) の肩になんか乗ってる ) というタイプを扱います。   この心霊写真型の除霊の仕方は２パターンあり 心霊写真型の除霊の仕方 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら   漸化式基本パターン第３講では、「分数型」の漸化式を扱います。 まずは分数型の中でも簡単な形（特殊な形）である 分数漸化式（メタボ型） \(a_{n+1}=\displaystyle \frac{ra_{n}}{pa_{n}+q}\) を考えます。 分数の形がなんとなく△の形をしており、引き締まっておりません。 逆数を取ると \(\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\disp ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   このシリーズの一覧はこちら   漸化式の解法基本パターン第４講では 特性方程式使うと事故る型 \(a_{n+1}=pa_{n}+An+B\) というタイプをやっていきます。 長ったらしいネーミングですが、逆に一回事故った方が理解が深まると思います。 （もっといいネーミングがあれば募集します。）   文字のままやっててもピンとこないかもしれませんので、本問の (1) を例にとって、敢えて事故ってみます。 誤答 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら   漸化式の解法基本パターン第５講では そうだ、log をとろう型 \(a_{n+1}^{p}=Aa_{n}^{q}\) というタイプを扱います。 両辺底が \(A\) の対数をとると \(p\log_{A}a_{n+1}=q\log_{A}a_{n}+1\) となり、\(b_{n}=\log_{A}a_{n}\) とおくと \(b_{n+1}=\displaystyle \frac{q}{p}b_{n} ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら   第６講では「変数倍」型を扱います。 変数倍型 $$a_{n+1}=f(n)a_{n}+A$$ 基本的に\(a_{n+1}=pa_{n}+\cdots\) という「定数倍」であれば、多少のイレギュラーこそあれど、等比数列としての処理に帰着することになります。 今回のように「変数倍」になってくると、形一つで対応が変わってきます。 このあたりを体系的にまとめるのは難しいでしょう。 (1) ,  (2)  は ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） このシリーズの一覧はこちら   第７講では３項間漸化式を扱います。 ３項間漸化式 $$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0$$ この３項間漸化式の狙い筋は 狙い筋 $$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})$$ という形に変形することで、等比数列の形として処理することです。 つまり、 \(a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   このシリーズの一覧はこちら   第８講では「連立漸化式」を扱います。 連立漸化式の代表的な解法としては２つあります。 連立漸化式の代表的方針 １文字消去 上手い倍率を見つけて辺々操作 それぞれについて見てみます。 １文字消去路線について 今回の (1) を例にとってみます。 消しやすい第２式に注目すれば、\(a_{n}=b_{n+1}-b_{n}\) と見ることができます。 第１式に代入するために番号を 1 つ上げれば ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   「全称命題」というテーマ性のある話題を扱います。 これは分野は関係なく、「考え方」に難しさがあり、独特な議論の進め方をします。 対応を知らないと、白紙になってしまったり、見当はずれなことを場当たり的に書いて終了してしまいかねません。 全称命題だと見抜く「眼」と、見抜いた後の「対応」の両輪をきちんと揃えておき、ライバルに差をつけましょう。 シリーズ一覧はこちら 今回は恒等式となるための条件を考えるという問題です。 見た目が仰々しく ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   全称命題シリーズ第２講です。 シリーズ一覧はこちら   全称命題についての対応は第１講で学びました。 全称命題特有の処理を施すわけですが、その後については「分野」ごとの常識力が問われる問題に帰着します。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 全ての自然数 \(n\) について \(a_{n}\) を割り切る素数を探すので、 \(a_{1}\) も割り切る必要があるよね？ という屁理屈 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   全称命題シリーズ第３講です。 シリーズ一覧はこちら   今回は整数分野の全称命題を扱います。 必要条件を言う部分で整数問題としての処理が求められるでしょう。 その後の十分性の確認では第２講の内容が存分に現れるので、前回の内容の確認もできると思います。 （以下ネタバレ注意）     + クリック（タップ）して続きを読む \(a_{n}=5^{n}+an+b\) とおきます。 全称命題と捉えて \(a_ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   全称命題シリーズ第４講です。 シリーズ一覧はこちら 今回は第３講に引き続き整数問題に関する全称命題です。 全称命題に関する基本的な対応については第１講で扱っていますが、今一度ここでも確認します。 step1全称命題だと見抜く 「任意の」「どんな」「全ての」\(\cdots\) という類の言葉は発見のシグナルです。 step2「じゃあ \(\cdots\)」と屁理屈（考えやすい簡単なケース）を言って答えの候補（必要条件）を出す。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   全称命題シリーズ第５講です。 シリーズ一覧はこちら     そもそも、今は「全称命題」というシリーズとしての問題としてこの問題と向き合っているから頭が全称命題モードになっていて、屁理屈を言おうと思えるかもしれません。 しかし実際試験場では何が出題されるか分かりません。 色々な問題に紛れてポンとおいてあったときに、冷静に全称命題だと見抜いて必要条件を出せるのかといった難しさがあると思います。 分野的にも整数や数 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) を満たす自然数 \((a \ , \ b \ , \ c \ )\) の組をピタゴラス数と言い、特に \(a\) , \(b\) , \(c\)  のどの２つも互いに素であるとき、原始ピタゴラス数と言います。 原始ピタゴラス数に関する入試問題は頻出であり、今回は何題かピックアップしてシリーズものとして取り上げたいと思います。 シリーズ一覧はこちら   今回は第１講ということで ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   ピタゴラス数についてのテーマ別演習第２講です。 シリーズ一覧はこちら 第２講では原始ピタゴラス数の一般解について考えます。 この問題だけ見ると、 「なんだこのオチ」 と思うかもしれませんが、実はこのオチからもう少し話を進めると   原始ピタゴラス数の一般解 \(m\) ,  \(n\) を \(m \gt n\) を満たす互いに素で、偶奇の異なる自然数とする。 この \(m\) ,  \(n\)  を用いて、\(a^{ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   ピタゴラス数についてのテーマ別演習第３講です。 シリーズ一覧はこちら 今回はピタゴラス数の拡張として \(a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}\) を満たす自然数 \(a\) , \(b\) , \(c\) , \(d\) について扱います。 （以下ネタバレ注意）     + クリック（タップ）して続きを読む 聞かれていることについては第１講で扱った平方剰余に近いものがあります。 そこで、(1) で ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   シリーズ一覧はこちら   非常にシンプルな問題ですが、難問です。 本問は歴史的には1955年にシェルピンスキーという数学者によって解決されました。 その後、この問題は一般のピタゴラス数についても成り立つか？という疑問に変わっていきます。 すなわち \(a\) , \(b\) , \(c\) を \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) を満たす正の整数とする。 \(a^{x}+b^{y}=c^{z}\) を満たす正の ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   多くの人が苦手とする話題である「定積分と不等式評価」という話題です。 特に現役生の勝負のカギは数Ⅲの完成度にあると言っても過言ではないのですが、結局この分野を苦手としたまま当日をむかえてしまうことになる受験生は沢山いるでしょう。 そんな受験生たちに差をつけましょう。 このシリーズの一覧はこちら   不等式評価には絶対的な正解がありません。 例えば \(1 \lt □\) の □ に何を入れるかと言われたら人によるところ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   今回は \(\tan{ \ }\) に関する定積分を扱います。 積分漸化式の作成については「部分積分」というのが常套手段なのですが、\(\tan{ \ }\) に関する定積分については例外です。 今回の問われ方は「\(I_{n}+I_{n+2}\) を求めよ。」であり、これはかなり親切です。 「\(I_{n+2}\) を \(I_{n}\) と \(n\) を用いて表せ。」であれば正答率はもっと下がると思います。 その場合の対処 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   前問に引き続き、ライプニッツ級数を題材とした定積分と不等式評価についての問題を見てみます。 このシリーズの一覧はこちら   今回は \(\tan{ \ }\) の逆関数を用いた誘導が付いた問題です。 (1) はイロハのイですが、今回は【総括】の中で \(x=\tan{\theta}\) の置き換えで上手くいくバックボーンについて触れておきました。   (2) においては「体の一部を定数化」です。 その際には、 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   定積分と不等式評価の第４講です。 今回は メルカトル級数 \(1-\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{4}+\cdots\cdots=\log{2}\) について扱った問題を見てみます。 とは言え、本問は、よく言えば丁寧な、悪く言えば過保護な誘導がついています。 ほとんど言われた通り進めていけば、完答できてしまうレベルだと ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   定積分と不等式評価の第５講です。 このシリーズの一覧はこちら 今回はネイピア数 \(e\) の無限級数表示がオチの問題です。 背景には \(e^{x}\) のテイラー展開（マクローリン展開） \(e^{x}=1+\displaystyle\frac{x}{1!}+\displaystyle\frac{x^{2}}{2!}+\displaystyle\frac{x^{3}}{3!}+\cdots\) があります。 しかし、それを前 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 このシリーズのまとめはこちら   まず、 \(\cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta})\) を満たす多項式 \(T_{n}(x)\) のことを（第１種）チェビシェフの多項式といいます。 例をあげ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第２弾です。 このシリーズのまとめはこちら 今回はチェビシェフの多項式 \(T_{n}(x)\) が満たす漸化式について考えます。 チェビシェフの多項式 \(T_{n}(x)\) は チェビシェフの多項式が満たす漸化式 $$ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第３弾です。 このシリーズのまとめはこちら 前回までに \(\cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta})\) を満たす多項式 \(T_{n}(x)\) について考えてきました。 じゃあ \(\sin{n ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第４弾です。 このシリーズのまとめはこちら 今回のテーマは \(y=T_{n}(x)\) のグラフの特徴です。 本問は前回までと違って \(\cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta})\) といったよう ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第５弾です。 このシリーズのまとめはこちら   これまでのチェビシェフの多項式 \(T_{n}(x)\) と似ていますが、\(\cos{n\theta}\) ではなく、\(2\cos{n\theta}\) や、\( ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第６弾です。 このシリーズのまとめはこちら     背景的知識を抜きにしても本問を解くことはできますので、まずは正攻法で挑んでほしいと思います。   （以下ネタバレ注意）   + クリ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第７弾です。 【前回までの内容】   今回はミニマックス原理というものが背景にある問題を扱います。 一連の流れが非常に独特です。 誘導があるならともかく、誘導なしの場合、初見で対応するのはかなり難しいと思います。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   このシリーズの一覧はこちら   数学における２大証明法「数学的帰納法」と「背理法」のコラボレーション問題です。 指導者側からすると「ハイハイこれね」と言いたくなるぐらい手垢のついた問題ですが、初めて解いた時の気持ちよさは今でも覚えています。 漸化式に関する証明問題では帰納法を用いるのが常套手段です。 本問では「互いに素」であることを証明するために背理法を用いることになります。 矛盾の仕方が個人的に気持ちいいですね。 ( ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 「数学的帰納法と背理法」シリーズの２弾目です。 このシリーズの一覧はこちら   今回のオチは「共通素因数がこれしかない」ということの証明です。 前回の「互いに素(共通素因数をもたない)」ということと本質的には同じですので、前回の問題ができなかった人はリベンジしてみてください。 解答はコチラ

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   「数学的帰納法と背理法」シリーズの３弾目です。 このシリーズの一覧はこちら   基本的なシナリオは前回までとおおよそは同じなのですが ココがポイント 互いに素（最大公約数が１）ということをどう翻訳するか が山場となります。 互いに素ということの翻訳の仕方は様々あるということを、本問を通じて学んでほしいと思います。   解答はコチラ

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   「数学的帰納法と背理法」シリーズの４弾目です。 このシリーズの一覧はこちら   本問は前回までのシナリオをベースとしながらも、さらに見抜くべきことや示すべきことが多々あります。 「数学的帰納法と背理法３」の記事で、「互いに素であることの翻訳の仕方は色々ある」ということを勉強したと思います。 「２数が互いに素である」ということは「その２数の最大公約数が１」と翻訳することが基本です。 最大公約数を扱うにあたり、大きな武器が ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   表向きは数学的帰納法の標準的な練習問題です。 本問を解くだけならば、そこまで難しい話ではありません。 （『数学的帰納法により示せ』と方針まで書いてくれています。） ただ、それで終わらすにはもったいない話題である「ペル方程式」を扱った問題なので、少しふれておこうと思い、今回シリーズものとしてテーマ別演習で扱うことにしました。 このシリーズの一覧はこちら   ペル方程式とは \(x^2-Dy^2=\pm 1\)  ( \( ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   「ペル方程式」シリーズ第２弾です。 このシリーズの一覧はこちら   今回は一見ペル方程式を前面に押し出しているわけではないですし、知識の有無が出来不出来には直結しません。 ただ、前回の内容を学習した状態で、本問を最後まで解ききってみると、一本の線で何かが繋がる感覚になると思います。 以下は単純に「純粋にこの問題を解く」という観点の内容です。 ( 以下ネタバレ注意 )   ＋クリック（タップ）して続きを読む 帰 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 「ペル方程式」シリーズ第３弾です。 このシリーズの一覧はこちら 併せて学習すると、理解が深まると思います。   さて、今回はペル方程式を不思議な恒等式（ブラーマグプタの恒等式）からアプローチするという問題です。 このブラーマグプタの恒等式をどう使っていくか、という活用力が問われます。 式の形を観察する力や、その形から次の一手をインスピレーションする力など、脳の様々な場所が刺激されると思います。 ぜひトライしてみてください。 &nbs ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ペル方程式の第４講は 「ペル方程式の解と近似」 という話題を扱います。 この話題を扱ううえでうってつけの例題です。 ペル方程式の解を用いて、\(\sqrt{2}\) の近似の精度をよくできるということを証明するというオチです。 初見であっても適切な誘導があり、割と親切な設計となっているため完答を狙いたいところです。 このシリーズの一覧はこちら （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について このシリーズで散々扱っ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回のテーマ別演習では「一般化」という考え方を自分のモノにします。 問題文で与えられている特殊なシチュエーションを、より一般のシチュエーションに拡張して考えるという手法です。 このシリーズの一覧はコチラ 第１講では、形から関数を設定する力を身につけることを目標とします。 例題の問題は非常にシンプルですが、しっかりと基礎的な部分で差が付きます。 数学の発想の素となる 「こういうことをしてみたい（調べてみたい）」 という素朴な気持ちや感性を鍛えて ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回のテーマ別演習では「一般化」という考え方を自分のモノにします。 問題文で与えられている特殊なシチュエーションを、より一般のシチュエーションに拡張して考えるという手法です。 このシリーズの一覧はコチラ 第２講では、「欲しいものを準備する」ということをテーマとします。 基本的には第１講で学んだように、形を見て、 「これが欲しい」 という気持ちが湧きあがるかどうかが大切です。 今回は第１講の要素に加えて、少し深みのある問題です。 （以下ネタバレ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回のテーマ別演習では「一般化」という考え方を自分のモノにします。 問題文で与えられている特殊なシチュエーションを、より一般のシチュエーションに拡張して考えるという手法です。 このシリーズの一覧はコチラ 第３講では、「定積分の扱い」ということをテーマとします。 今回のテーマである一般化以外にも様々な解法が考えられますが、今回のテーマに即した倒し方をぜひ考えてみてほしいと思います。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回のテーマ別演習では「一般化」という考え方を自分のモノにします。 問題文で与えられている特殊なシチュエーションを、より一般のシチュエーションに拡張して考えるという手法です。 このシリーズの一覧はコチラ 第４講では、「分野の拡張」ということをテーマとします。 一般化することで強力な武器が手に入ることを実感してくださ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     「数値評価」というテーマを扱います。 このシリーズの一覧はこちら   今回は円周率 \(\pi\) の評価です。 第１回ということもあり、まずは丁寧な誘導のついた問題をもってきました。 (1)は展開して定積分を計算するだけです。 (2)は  \(x=\tan\theta\)  \((-\displaystyle\frac{\pi}{2}  \lt \theta \lt \displaystyle\frac ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   「数値評価」シリーズの第２弾です。 このシリーズの一覧はこちら   前回の第１弾は円周率 \(\pi\) の評価でした。 今回はネイピア数 \(e\) の評価です。 案の定ヒントめいた不等式が誘導としてついています。 前回と違い、今回はちょっとだけオチで一工夫が必要です。 (2) の不等式に \(a=1\) をそのまま代入してもうまくいきません。 今回の問題を通じて教訓として学んでほしいことは 評価に失敗したときのリカ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   「数値評価」シリーズの第３弾です。 このシリーズの一覧はこちら   今回は \(e^{\pi}\) の評価です。 前回までと違い、今回はノーヒントでの出題です。 まず、今回の定積分  \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} e^{x}\sin^{2} x dx\)  は計算可能です。 次数を下げるために半角公式でほぐした後は   ポイント 【  \(\displaystyle \int_ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     「数値評価」シリーズの第４弾です。 このシリーズの一覧はこちら   今回は \(e^e\)  の評価です。 ノーヒントでの出題であるため、基本的な構想を自分で組み立てる必要があります。 与えられた近似値を単純に使うとなると、手計算できる範囲では $$e^2 \lt e^e \lt e^3$$ とやるのが普通でしょうか。 これを計算しても、 $$7.387524 \lt e^e \lt 20.0792902 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 「数値評価」シリーズの第５弾です。 このシリーズの一覧はこちら 今回は \(\log{2}\) という自然対数の評価です。 (1) という誘導設問がありますが、単純に使うと失敗します。 恐らくほとんどの人が最初失敗して、そこからリカバリーしきれるかどうかという勝負になるでしょう。 不等式の精度を高めるために（誤差を小さくするために）どのようにすべきか、という部分に脳みそをつかっていきたいところです。 （以下ネタバレ注意）   + ク ...