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「数値評価」シリーズの第５弾です。
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今回は \(\log{2}\) という自然対数の評価です。
(1) という誘導設問がありますが、単純に使うと失敗します。
恐らくほとんどの人が最初失敗して、そこからリカバリーしきれるかどうかという勝負になるでしょう。
不等式の精度を高めるために（誤差を小さくするために）どのようにすべきか、という部分に脳みそをつかっていきたいところです。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む 真ん中は実際に積分可能です。 それをわざわざ敢えて定積分の形で訊いているので、意識したいのは「面積評価」です。 そう考えると、最右辺は台形を彷彿とさせる形をしています。 そこで という構図で考えればよいでしょう。 \(\displaystyle \int_{a-x}^{a+x} \displaystyle \frac{1}{t} dt=\log{\displaystyle \frac{a+x}{a-x}}\) ですから、(1) の不等式は \(\displaystyle \frac{2x}{a} \lt \log{\displaystyle \frac{a+x}{a-x}} \lt x(\displaystyle \frac{1}{a+x}+\displaystyle \frac{1}{a-x})\) ということになります。 当然、真ん中の \(\log{\displaystyle \frac{a+x}{a-x}}\) を \(\log{2}\) に見立てていくことを考えたくなるでしょう。 そこで、\(\displaystyle \frac{a+x}{a-x}=2\) としたくなると思います。 これより、\(\displaystyle \frac{x}{a}=\displaystyle \frac{1}{3}\) となります。 しかし、そうなると左側の不等式が \(\displaystyle \frac{2}{3} \lt \log{2}\) となってしまい、示すべき不等式よりもあまい結果となって失敗します。 ここからどうリカバリーするかです。 先ほどの面積評価の際のもとになったグラフ を見て見ると、 となれば、誤差が小さくなります。 \(x=1\) と固定して考えてみます。 \(\displaystyle \frac{a+1}{a-1}=k\) とすると、 \(a=1+\displaystyle \frac{2}{k-1}\) となります。 先ほどの考察から、\(a\) は大きくしたいので、\(k\) は小さくしたいことになります。 冒頭では \(k=2\) として失敗したわけです。 ということを考えると、次の候補は \(k=\sqrt{2}\) となると思います。 幸いにもこれで今回はうまくいきます。 ただ、\(k=\sqrt{2}\) とすると、真ん中の項は \(\displaystyle \frac{1}{2} \log{2}\) となるため、このあと辺々 \(2\) をかけます。 つまり、誤差も \(2\) 倍となるというリスクもあることは認識した方がいいかもしれません。 この他にも無理数の近似に頼らない方針を【解 2】で扱いました。 また、自然対数の近似値は覚えている人は少ないと思いますが、 \(\log_{10}{2}=0.3010\) \(\log_{10}{3}=0.4771\) という近似値は桁数問題などでよく目にするものでしょう。 つまり、 底の変換公式 \(a\) , \(b\) , \(c\) を \(1\) 以外の正の実数とするとき \(\log_{a}{b}=\displaystyle \frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}\) を用いて自然対数を常用対数へ変換して大体の近似値を考えてみるということを【総括】で触れています。(1) について
(2) について
（少なくとも自然対数の近似値よりは目にする機会が多いかなと思います）