例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。
古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。
細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。
一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。
シリーズ一覧
第４講では、フィボナッチ数列の平方和について見ていきます。
フィボナッチ数列
- \(a_{1}=1\) , \(a_{2}=1\) , \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\)
で与えられるフィボナッチ数列の平方和
\({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+\cdots+{a_{n}}^{2}\)
が簡単な計算で捌けるということを実感してください。
例題では事実を証明し、類題ではその事実の視覚的なイメージを捉えていきます。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む 書き出すだけであるため、計算ミスにだけ気を付けて書き出しましょう。 結果が与えられている証明形式の問題です。 もちろん、フィボナッチ数列を与える要の \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\) という漸化式があるため、数学的帰納法で示すことになります。 step \(a_{2}+a_{3}=a_{4}\) より という正方形①を追加することで、この長方形の面積は \({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+{a_{4}}^{2}\) となります。 step \(a_{3}+a_{4}=a_{5}\) より という正方形②を追加することで、この長方形の面積は \({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+{a_{4}}^{2}+{a_{5}}^{2}\) となります。 step \(a_{4}+a_{5}=a_{6}\) より という正方形③を追加することで、この長方形の面積は \({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+{a_{4}}^{2}+{a_{5}}^{2}+{a_{6}}^{2}\) となります。 そして、これが (1) で求められている長方形ということになります。 \(a_{5}+a_{6}=a_{7}\) より という状況であるため、 ということになり、この長方形の面積は \(a_{6}a_{7}\) ということが言えます。 (1) の結果も踏まえると \({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+{a_{4}}^{2}+{a_{5}}^{2}+{a_{6}}^{2}=a_{6}a_{7}\) ということになり、 \(\alpha=6\) , \(\beta=7\) という \(\alpha\) , \(\beta\) が見出せます。 後半の一般論についても \({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+\cdots+{a_{n}}^{2}=a_{n}a_{n+1}\) ということが推測されます。 この証明自体は例題で示したように 数学的帰納法 を用いて示せばよいことになります。 この類題の (1) のプロセスがフィボナッチ数列の平方和を視覚的にイメージする問題となっています。 例題の (1) を例にして と書き下してみると となり、数字の羅列だけでは中々推測が難しいかもしれません。 もちろんこれを というように、 フィボナッチ数の積となっている ということをスムーズに見抜ければ式からも推測ができると言えばできます。例題について
例題はこちら（再掲）（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
(1) について
(2) について
類題について
類題はこちら（再掲）（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
(1) について
1面積 \({a_{4}}^{2}\) の正方形の追加
2面積 \({a_{5}}^{2}\) の正方形の追加
3面積 \({a_{6}}^{2}\) の正方形の追加
(2) について
前半の問い
後半の問い
まとめると