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チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。
初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。
今回は第３弾です。
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チェビシェフの多項式 第１講【第１種チェビシェフ多項式】【2008年度 東京慈恵会医科大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 このシリーズのまとめはこちら まず、 \(\cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta})\) を満たす多項式 \(T_{n}(x)\) のことを（第１種）チェビシェフの多項式といいます。 例をあげ ...
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チェビシェフの多項式 第２講【チェビシェフの多項式が満たす漸化式】【2015年度 千葉大学】
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チェビシェフの多項式 第３講【第２種チェビシェフの多項式】【1996年度 京都大学】
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チェビシェフの多項式 第４講【チェビシェフの多項式のグラフの特徴】【1997年度 京都大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第４弾です。 このシリーズのまとめはこちら 今回のテーマは \(y=T_{n}(x)\) のグラフの特徴です。 本問は前回までと違って \(\cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta})\) といったよう ...
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チェビシェフの多項式 第５講【変形チェビシェフの多項式】【2004年度 名古屋大学】
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チェビシェフの多項式 第６講【変形チェビシェフの多項式のグラフ】【2004年度 東京大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第６弾です。 このシリーズのまとめはこちら 背景的知識を抜きにしても本問を解くことはできますので、まずは正攻法で挑んでほしいと思います。 （以下ネタバレ注意） + クリ ...
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チェビシェフの多項式 第７講【ミニマックス原理との関連】【1977年度岐阜大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第７弾です。 【前回までの内容】 今回はミニマックス原理というものが背景にある問題を扱います。 一連の流れが非常に独特です。 誘導があるならともかく、誘導なしの場合、初見で対応するのはかなり難しいと思います。 ...
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前回までに \(\cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta})\) を満たす多項式 \(T_{n}(x)\) について考えてきました。
じゃあ \(\sin{n\theta}\) については？
という疑問について今回の問題を通じて考えていきます。
\(\sin{1\theta}=\sin{\theta}\)
\(\sin{2\theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta}\)
\(\sin{3\theta}=3\sin{\theta}-4\sin^3{\theta}=(4\cos^2{\theta}-1)\sin{\theta}\)
と実験してみると \(\cos{\theta}\) だけでは表すことはできないようです。
ただ、\(\sin{\theta}\) は１つしか残っていないということに注目すると
\(\displaystyle \frac{\sin{n\theta}}{\sin{\theta}}=U_{n-1}(\cos{\theta})\) という \(n-1\) 次式 \(U_{n-1}(x)\) が存在する
ということが言えそうです。
（本問でいう \(g_{n}(x)\) は \(U_{n-1}(x)\) に相当します。）
この \(U_{n-1}(x)\) は第２種チェビシェフの多項式と呼ばれます。
（以下ネタバレ注意）
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路線としては数学的帰納法でしょう。
前提知識なく取り組むとするならば、\(n=k+1\) のとき
\(\cos{(k+1)\theta}\)
\(=\cos{k\theta}\cos{\theta}-\sin{k\theta}\sin{\theta}\)
\(=f_{k}(\cos{\theta})\cos{\theta}-g_{k}(\cos{\theta})\sin^2{\theta}\)
\(=f_{k}(\cos{\theta})\cos{\theta}-g_{k}(\cos{\theta}) (1-\cos^2{\theta})\)
\(=f_{k}(\cos{\theta})\cos{\theta}+g_{k}(\cos{\theta})\cos^2{\theta}-g_{k}(\cos{\theta})\)
\(x=\cos{\theta}\) という置換により
\(=xf_{k}(x)+x^2g_{k}(x)-g_{k}(x)\)
\(=\)( \(k+1\)次式 )\(+\)( \(k+1\)次式 )\(-\)( \(k-1\)次式 )
となりますが、これで帰納法の目標である \(=\)( \(k+1\) 次式 ) と言えたわけではありません。
\(x^{k+1}\) の項が打ち消しあう可能性を否定しなければならないからです。
( 前回の「チェビシェフの多項式２」で最高次の係数は \(2^{n-1}\) であることを学習している人はいいですが、前提知識がなければ実験でこれを見出す必要があります。）
\(\sin{(k+1)\theta}\) についても同様です。
また、前回の内容を学習しているということであれば
\(\cos{(n+2)\theta}+\cos{n\theta}=2 \cos{(n+1)\theta}\cos{\theta}\)
\(\sin{(n+2)\theta}+\sin{n\theta}=2 \sin{(n+1)\theta}\sin{\theta}\)
という和積公式を利用するという発想も自然に思えるはずです。
これにより
\(f_{n+2}(x)=2xf_{n+1}(x)-f_{n}(x)\)
\(g_{n+2}(x)=2xg_{n+1}(x)-g_{n}(x)\)
と \(f\) だけ, \(g\) だけの漸化式を作ることができ、これだと最高次の係数に触れる必要はありません。
このように前回までの内容が何かしらの形で問われてきます。頑張ってみましょう。
(2) の結果もチェビシェフの多項式の特徴の１つですし、(3)はその結果から言える面白い性質です。
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