漸化式の解法基本パターン　第２講【２項間漸化式：心霊写真型】

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問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）漸化式は問題を解く中で処理しなければならない場面が多々あります。確率漸化式などの確率や場合の数の分野との融合点列など、座標との融合整数問題との融合など、漸化式は道具として使う場面が多々あります。漸化式が立式できても、それが解けないとなると意味がありませんから、基本的な漸化式についてはきちんと処理できる必要があります。そこで基本的な漸化式について一通りこのシリーズで押さえておきたいと思いますこのシリーズの一覧はこちら ...

漸化式の解法基本パターン　第２講【２項間漸化式：心霊写真型】

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）このシリーズの一覧はこちら前回の第１講で扱った Type 1 $a_{n+1}=pa_{n}+q$ ( $p \neq 1$ ) の派生形として今回は Type 2 (心霊写真型) $a_{n+1}=pa_{n}+q^{n}$ ( $p \neq 1$ ) ( $q$ の肩になんか乗ってる ) というタイプを扱います。この心霊写真型の除霊の仕方は２パターンあり心霊写真型の除霊の仕方 ...

漸化式の解法基本パターン　第３講【２項間漸化式：分数型】

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）このシリーズの一覧はこちら漸化式基本パターン第３講では、「分数型」の漸化式を扱います。まずは分数型の中でも簡単な形（特殊な形）である分数漸化式（メタボ型） $a_{n+1}=\displaystyle \frac{ra_{n}}{pa_{n}+q}$ を考えます。分数の形がなんとなく△の形をしており、引き締まっておりません。逆数を取ると \(\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\disp ...

漸化式の解法基本パターン　第４講【２項間漸化式：特性方程式使うと事故る型】

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）このシリーズの一覧はこちら漸化式の解法基本パターン第４講では特性方程式使うと事故る型 $a_{n+1}=pa_{n}+An+B$ というタイプをやっていきます。長ったらしいネーミングですが、逆に一回事故った方が理解が深まると思います。（もっといいネーミングがあれば募集します。）文字のままやっててもピンとこないかもしれませんので、本問の (1) を例にとって、敢えて事故ってみます。誤答 ...

漸化式の解法基本パターン　第５講【２項間漸化式：そうだ、logをとろう型】

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）このシリーズの一覧はこちら漸化式の解法基本パターン第５講ではそうだ、log をとろう型 $a_{n+1}^{p}=Aa_{n}^{q}$ というタイプを扱います。両辺底が $A$ の対数をとると $p\log_{A}a_{n+1}=q\log_{A}a_{n}+1$ となり、$b_{n}=\log_{A}a_{n}$ とおくと \(b_{n+1}=\displaystyle \frac{q}{p}b_{n} ...

漸化式の解法基本パターン　第６講【２項間漸化式：変数倍型】

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）このシリーズの一覧はこちら第６講では「変数倍」型を扱います。変数倍型 $$a_{n+1}=f(n)a_{n}+A$$ 基本的に$a_{n+1}=pa_{n}+\cdots$ という「定数倍」であれば、多少のイレギュラーこそあれど、等比数列としての処理に帰着することになります。今回のように「変数倍」になってくると、形一つで対応が変わってきます。このあたりを体系的にまとめるのは難しいでしょう。 (1) , (2) は ...

漸化式の解法基本パターン　第７講【隣接３項間漸化式への対応】

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）このシリーズの一覧はこちら第７講では３項間漸化式を扱います。３項間漸化式 $$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0$$ この３項間漸化式の狙い筋は狙い筋 $$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})$$ という形に変形することで、等比数列の形として処理することです。つまり、 \(a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1 ...

漸化式の解法基本パターン　第８講【２種類の連立漸化式への対応】

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）このシリーズの一覧はこちら第８講では「連立漸化式」を扱います。連立漸化式の代表的な解法としては２つあります。連立漸化式の代表的方針１文字消去上手い倍率を見つけて辺々操作それぞれについて見てみます。１文字消去路線について今回の (1) を例にとってみます。消しやすい第２式に注目すれば、$a_{n}=b_{n+1}-b_{n}$ と見ることができます。第１式に代入するために番号を 1 つ上げれば ...

前回の第１講で扱った

Type 1

$a_{n+1}=pa_{n}+q$ ( $p \neq 1$ )

の派生形として今回は

Type 2 (心霊写真型)

$a_{n+1}=pa_{n}+q^{n}$ ( $p \neq 1$ ) ( $q$ の肩になんか乗ってる )

というタイプを扱います。

この心霊写真型の除霊の仕方は２パターンあり

心霊写真型の除霊の仕方

除霊その１：両辺を $q^{n+1}$ で割る

除霊その２：両辺を $p^{n+1}$ で割る

という方法があります。

除霊その１の方法で除霊すると、

$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{q^{n+1}}=\displaystyle \frac{p}{q}\cdot \displaystyle \frac{a_{n}}{q^{n}}+\displaystyle \frac{1}{q}$ となり、$b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}}{q^{n}}$ とおくことで

$b_{n+1}=\displaystyle \frac{p}{q} b_{n}+\displaystyle \frac{1}{q}$ という Type１に帰着します。

除霊その２の方法で除霊すると

$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{p^{n+1}}=\displaystyle \frac{a_{n}}{p^{n}}+\displaystyle \frac{1}{p}\cdot (\displaystyle \frac{q}{p})^{n}$ となり、$b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}}{p^{n}}$ とおくことで

$b_{n+1}=b_{n}+\displaystyle \frac{1}{p}\cdot (\displaystyle \frac{q}{p})^{n}$ を得ます。

これより、$b_{n+1}-b_{n}=\displaystyle \frac{1}{p}\cdot (\displaystyle \frac{q}{p})^{n}$ となり、階差数列の処理に落とし込むことができます。

階差数列の処理はめんどくさいから除霊その１だけでいいじゃないかと思うかもしれませんが、本問の (3) のように

後ろにもお化けが沢山いる場合

というのは、除霊その２でしか倒せませんから、必ず両方インストールしておきましょう。

解答はコチラ

漸化式の解法基本パターン 第２講【２項間漸化式：心霊写真型】

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