幾何・ベクトル系

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） メネラウスの定理の空間版ともいえる内容の証明を考える問題です。 一応、ベクトルでゴリ押しすることもできますが、そちらについては【復習用問 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 鋭角三角形 \(\mathrm{ABC}\) の各頂点から対辺に下ろした垂線の足によってできる三角形の傍心が頂点 \(\mathrm{A ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） トレミーの定理の証明を問題形式で考えてみます。 本問の (2) の内容がトレミーの定理です。 トレミーの定理は「裏技」的な位置づけで紹介 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 放物線の任意の３接線による三角形の外接円が、必ずその放物線の焦点を通るという美しい性質の証明です。 そそる見た目をしていますが、うまく頭 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） シンプルな３辺の長さをもつ三角形の内角がどの程度の大きさなのかを見積もる問題です。 具体的な値が出てこないことに対する恐怖感を拭えない受 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 内包関 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     表向きは座標の標準問題、あるいは軌跡の問題の標準問題に見えますが、円の反転変換を題材にした問題で、入試におい ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 直角三角形の外側に作る二等辺三角形によって正三角形ができるという話題です。 どんな直角三角形に対しても、外側に頂角 \(120^{\ci ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 極、極線という有名な構図があります。 その構図に関する有名事実をネタにした問題です。 工夫なしで立ち向かうとなると厳しい計算に襲われるか ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ベクトルの三角不等式を題材とした問題です。 (1) ,  (2) までは基本的な内容の確認ですが、最後の (3) は難しいと思います。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   巡回性をもったキレイな設定で、最後の面積を与える式もキレイな形をしています。 パッと見て思わず解いてみたくなる問題です。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   内積は値（スカラー）だという認識が弱い数学が苦手な受験生は \(\vec p\) の形を見て心を閉ざしてしまいます。 一方 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 円周上の３点によって直角三角形ができるための必要十分条件を考える論証問題です。 幾何的に言えば \(\triangle{\mathrm{ ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   巡回性をもった設定であり、「そそる」香りが漂ってくる問題です。 アッサリと終わってしまう人もいれば、右往左往する人も出てく ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） これ１題で 重心・垂心・外心・内心の位置ベクトル の導出について学べるめちゃくちゃコスパの良い問題です。 三角形の代表的な点の位置ベクト ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 決して派手な問題ではありませんが、ベクトルに関する基本的な扱いを要求し、最後は面積比の最小問題がオチという実戦的な演習問題です。 角度を ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） オイラー線と呼ばれる有名な話題について扱います。 1993年度札幌医科大、2006年度岩手大、2018年度上智大など、出題校をあげていく ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 外心に関する論証問題です。 本問は名古屋大学の問題ですが、雰囲気は京大に近い感じですね。 昔の名古屋大学って結構切れ味が鋭い論証を要求し ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   正射影ベクトルの扱いから入り、そこから整数問題チックなオチに着地するという気持ちの良い問題です。 ただし、(1) の正射影 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   四面体の外接球の存在を証明させる問題です。 パッと見て思うこととしては 平面バージョン 平面上に三角形 \(ABC\) を ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 四面体において、各頂点と対面の重心を結んだ線分は 1 点で交わります。 三角形において、各頂点と対辺の中点を結んだ線分が 1 点で交わり ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 四面 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   ４つの面が全て合同である四面体のことを「等面四面体」と言います。 この等面四面体については初見でぶつかると、ほとんどの人が ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 正八面体の辺ベクトルについての論証問題であり、一見するとどこから手を付けていいのかが分かりにくい問題でしょう。 題意の主張が当たり前じゃ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 正十二面体に関する位置ベクトルについての問題です。 必然的に正五角形に関する扱いが求められます。 空間ベクトルの問題においては、正四面体 ...

平面の問題【問題１】はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 空間の平面上を動く問題【問題２】はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 空間の直線上を動く問題【問題 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） フェルマー点と呼ばれる有名テーマについての問題を考えます。 例題では、フ ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 何やらありそうな設定ですが、問題を解くだけであれば基本に忠実に解いていけば無理はありません。 まずは普通に解いてみて、本問の設定について ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   平面座標における角度の扱いと言えば 座標平面上で角度を扱うときの方針 ベクトルの内積を用いて、cos の服を着せて角度を扱 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 東大にしては珍しく図を付けてくれており、状況が読み取りやすくなっています。 ただ、解法の良しあしははっきりと分かれ、差が付くと思います。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 京大が定期的に出題する四面体に関する論証問題です。 幾何・座標・ベクトルという３分野が考えられますが、本問は必要に合わせてどの分野のまな ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(y=\displaystyle \frac{1}{x}\) というシンプルな直角双曲線上の３点によってできる三角形の垂心もこの \( ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） いかにも「何かありそう」な雰囲気を感じるでしょう。 グラム・シュミットの直交化法と呼ばれるものが背景にありますが、知らなくても解けるよう ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   空間における三角形を平面に正射影した三角形について考える問題です。 段階的に誘導がついているため、完答するのにそこまで無茶 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   回転放物面を扱った問題で、昔より出題は控えめになりましたが、一度は扱っておきたい話題です。 ３頂点 \(A ,  B ,  ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 円に外接する四角形の面積の最小を考える問題です。 テーマとしては「図形量の最大最小」であり、今回は面積を何かしら数式化し、その関数の最小 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 見た目はベクトルの問題ですが、様々な解法が考えられます。 そのままベクトルで捌くのもいいですし、少し凝った解法で捌いてもよいでしょう。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 難関大の問題では図形を扱う際、どの分野で解き進めるかという選択を迫られることが多いです。 その分野として多いのが 図形を扱う代表的分野 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 単位円上の４点 \(\mathrm{A}\) ,  \(\mathrm{B}\) ,  \(\mathrm{C}\) ,  \(\mat ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 見た目ベクトルの問題です。 本問を通じて様々なものの見方を学ぶことができると思います。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 二等分線上の点の位置ベクトルをどのように扱うかという問題です。 結局は 長さと方向をいかに準備するか ということにエネルギーを注ぐことに ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 本問は当時の受験生が試験直後、 「これどうやって解くの？」 とざわついた問題だそうです。 確かに一見、掴みどころのない問題に見えますが、 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 図形を折るこの手の問題は想像力が必要で、中学受験を経験している中高一貫校の生徒は割とそういう訓練を積んでいる人が多いです。 それがいいか ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 正方形の折り紙を折り曲げたときの重なりの部分が線対称な五角形になるときを考える幾何的な問題です。 このあたりの幾何的な考察はマニュアル的 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） シンプルな設定ではありますが、簡単ではありません。 分野の選択も含めて、どの道具を駆使して解き進めていくかの判断も求められます。 （以下 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   図形の問題は「ベクトル」「幾何」「座標」など、様々な分野からのアプローチが考えられます。 難関大志望者は、問題に応じて「ど ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） １の ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 複素数平面上の４点が同一円周上にあるための条件を考えるという問題で、この ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 複素数平面において \(1\) , \(z\) , \(z^{2}\) あるいは \(z\) , \(z^{2}\) , \(z^{3} ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 複素数は 数値として扱えつつ、ベクトルとして幾何的にも扱える という性質をもっているがゆえに、様々な解法が考えられる分野です。 多くの問 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 2018年度東京大学理類の第５問で、複素数平面に関する対称移動という話題からスタートし、そこから肉付けがしてあります。 今でも記憶にある ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   複素数平面に関する幾何的な考察問題です。 こういった図形を扱う分野としては 図形を扱う分野 幾何的な分野（三角比や平面図形 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 進行方向に関する決まったアルゴリズムによって定まる点列を扱う問題で、この分野の定番問題の一つです。 イメージとしてラーメンの器にある の ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   幾何についての考察力が問われる問題です。 点 \(A\) , \(B\) を定点としたとき、\(\angle APB \g ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   式の持つ意味と、図形的な意味をリンクさせる 式の形から次の一手を見出す など、(2)までは「その場力」が必要です。 (3) ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ３次元空間における歪んだ八面体を、ある平面で切った切り口について考察する問題です。 東大はこういった空間把握力を試すような問題を好んで出 ...