３垂線の足による三角形の傍心【1999年度 和歌山大学】

示すべき目標

ひとまず

３頂点の対称性（対等性）

から

点 \(\mathrm{A}\) が \(\triangle \mathrm{PQR}\) の傍心の一つ

ということが言えれば、点 \(\mathrm{B}\) ,  \(\mathrm{C}\) も同様に傍心であることが言えます。

ということで、本問の着地点としては

ということになります。

傍心であることを示すには

• 点 \(\mathrm{A}\) が \(\triangle \mathrm{PQR}\) の傍心の一つ

ということを示すには

ということを示すことになります。

点 \(\mathrm{A}\) が \(\angle{\mathrm{QPR}}\) の二等分線上にあることの証明

まずは、\(\mathrm{AP}\) が、\(\angle{P}(内角)\) の二等分線であること、すなわち

\(\angle{\mathrm{RPH}}=\angle{\mathrm{HPQ}}\)

ということを示したいと思います。

そこで注目したいのが

という

四角形 \(\mathrm{BPHR}\) ,  \(\mathrm{CQHP}\)

という２つの四角形です。

この２つの四角形は、

• \(\angle{\mathrm{BPH}}+\angle{\mathrm{BRH}}=180^{\circ}\)
• \(\angle{\mathrm{CQH}}+\angle{\mathrm{CPH}}=180^{\circ}\)

なので、それぞれ円に内接する四角形です。

すると円周角の定理から

\(\angle{\mathrm{RBH}}=\angle{\mathrm{HCQ}}\)

が言えればよいことになります。

これについては

という２つの直角三角形に注目すれば、すぐに解決します。

これにより、

• \(\mathrm{AP}\) が、\(\angle{P}(内角)\) の二等分線である

ということが言えます。

対等性から

３頂点の対等性から、同様にして

• \(\mathrm{BQ}\) が、\(\angle{Q}(内角)\) の二等分線である
• \(\mathrm{CR}\) が、\(\angle{R}(内角)\) の二等分線である

ということも言えます。

つまり、

というシチュエーションが完成するため、

• 点 \(\mathrm{A}\) は \(\triangle{\mathrm{PQR}}\) の傍心

ということが言え、解決しました。

問題は、記述面でしょう。

幾何のような「視覚的」なものを文章のみで記述するのは

書く方も読む方もツライものです。

用意した解答はなるべく図がうるさくならないように分けて、図をふんだんに用いましたが、ただ、実戦の現場では、限られたスペースしかないため、図がうるさくなるかもしれません。

\(\angle{\mathrm{ABC}}\) という表記よりも \(\theta\) と名前を付ける

など、見やすくする工夫をすることをおススメします。

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